微分積分例

$h (x) = \ln (6 x + \sqrt{36 x^{2} - 2})$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{36 x^{2} - 2}$ を ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\ln (6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 3.2

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 3.4

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{d}{d x} [{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 4

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 36 x^{2} - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $36 x^{2} - 2$ とします。

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

ステップ 4.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $36 x^{2} - 2$ で置き換えます。

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

ステップ 5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

ステップ 6

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

ステップ 7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

ステップ 8

分子を簡約します。

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ステップ 8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

ステップ 8.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

ステップ 9

分数をまとめます。

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ステップ 9.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {(36 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

ステップ 9.2

$\frac{1}{2}$ と ${(36 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{{(36 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

ステップ 9.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(36 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

ステップ 10

総和則では、 $36 x^{2} - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

ステップ 11

$36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $36 x^{2}$ の微分係数は $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

ステップ 12

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (36 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2]))$

ステップ 13

$2$ に $36$ をかけます。

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (72 x + \frac{d}{d x} [- 2]))$

ステップ 14

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (72 x + 0))$

ステップ 15

項を簡約します。

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ステップ 15.1

$72 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (72 x))$

ステップ 15.2

$72$ と $\frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{72}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} x)$

ステップ 15.3

$\frac{72}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{72 x}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 15.4

$2$ を $72 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{2 (36 x)}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 16

共通因数を約分します。

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ステップ 16.1

$2$ を $2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{2 (36 x)}{2 ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})})$

ステップ 16.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{2 (36 x)}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 16.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 17

簡約します。

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ステップ 17.1

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}})$ の因数を並べ替えます。

$(6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2

$6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

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ステップ 17.3.1

$\frac{6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.3.2

まとめる。

$\frac{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}})}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 17.4

分配則を当てはめます。

$\frac{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x) + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.5

${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 17.5.1

共通因数を約分します。

ステップ 17.5.2

式を書き換えます。

$\frac{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 + 36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x) + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.6

$6$ を ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 + 36 x$ で因数分解します。

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ステップ 17.6.1

$6$ を ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6$ で因数分解します。

$\frac{6 \cdot {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.6.2

$6$ を $36 x$ で因数分解します。

$\frac{6 \cdot {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 6 (6 x)}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.6.3

$6$ を $6 \cdot {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 6 (6 x)$ で因数分解します。

$\frac{6 ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 6 x)}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.7

${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ を ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

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ステップ 17.7.1

${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{6 ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 6 x)}{6 x {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.7.2

${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ を $6 x {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{6 ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 6 x)}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x) + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.7.3

${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ を ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{6 ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 6 x)}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x) + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 17.7.4

${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ を ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x) + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$\frac{6 ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 6 x)}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 17.8

項を並べ替えます。

$\frac{6 (6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 17.9

共通因数を約分します。

$\frac{6 (6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 17.10

式を書き換えます。

$\frac{6}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例