微分積分例

$h (x) = \cos (\sin (5 x^{3})) - \tan^{3} (x^{2})$

ステップ 1

総和則では、 $\cos (\sin (5 x^{3})) - \tan^{3} (x^{2})$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\cos (\sin (5 x^{3}))] + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$ です。

$\frac{d}{d x} [\cos (\sin (5 x^{3}))] + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\cos (\sin (5 x^{3}))]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \sin (5 x^{3})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin (5 x^{3})$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (5 x^{3})] + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

ステップ 2.1.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [\sin (5 x^{3})] + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin (5 x^{3})$ で置き換えます。

$- \sin (\sin (5 x^{3})) \frac{d}{d x} [\sin (5 x^{3})] + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

ステップ 2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 5 x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $5 x^{3}$ とします。

$- \sin (\sin (5 x^{3})) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

ステップ 2.2.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$- \sin (\sin (5 x^{3})) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

ステップ 2.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $5 x^{3}$ で置き換えます。

$- \sin (\sin (5 x^{3})) (\cos (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

ステップ 2.3

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{3}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- \sin (\sin (5 x^{3})) (\cos (5 x^{3}) (5 \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

ステップ 2.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin (\sin (5 x^{3})) (\cos (5 x^{3}) (5 (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

ステップ 2.5

$3$ に $5$ をかけます。

$- \sin (\sin (5 x^{3})) (\cos (5 x^{3}) (15 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

ステップ 2.6

$15$ に $- 1$ をかけます。

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \tan^{3} (x^{2})$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x^{2})]$ です。

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x^{2})]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \tan (x^{2})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $\tan (x^{2})$ とします。

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (x^{2})])$

ステップ 3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ は $n {u_{3}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - (3 {u_{3}}^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x^{2})])$

ステップ 3.2.3

$u_{3}$ のすべての発生を $\tan (x^{2})$ で置き換えます。

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - (3 \tan^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [\tan (x^{2})])$

ステップ 3.3

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{4}$ を $x^{2}$ とします。

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - (3 \tan^{2} (x^{2}) (\frac{d}{d u_{4}} [\tan (u_{4})] \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

ステップ 3.3.2

$u_{4}$ に関する $\tan (u_{4})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{4})$ です。

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - (3 \tan^{2} (x^{2}) (\sec^{2} (u_{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

ステップ 3.3.3

$u_{4}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - (3 \tan^{2} (x^{2}) (\sec^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

ステップ 3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - (3 \tan^{2} (x^{2}) (\sec^{2} (x^{2}) (2 x)))$

ステップ 3.5

$2$ に $3$ をかけます。

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - (6 \tan^{2} (x^{2}) (\sec^{2} (x^{2}) (x)))$

ステップ 3.6

$6$ に $- 1$ をかけます。

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - 6 \tan^{2} (x^{2}) \sec^{2} (x^{2}) x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

項を並べ替えます。

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - 6 x \sec^{2} (x^{2}) \tan^{2} (x^{2})$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

正弦と余弦に関して $\sec (x^{2})$ を書き換えます。

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - 6 x {(\frac{1}{\cos (x^{2})})}^{2} \tan^{2} (x^{2})$

ステップ 4.2.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ に当てはめます。

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - 6 x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x^{2})} \tan^{2} (x^{2})$

ステップ 4.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - 6 x \frac{1}{\cos^{2} (x^{2})} \tan^{2} (x^{2})$

ステップ 4.2.4

$- 6 x \frac{1}{\cos^{2} (x^{2})}$ を掛けます。

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ステップ 4.2.4.1

$- 6$ と $\frac{1}{\cos^{2} (x^{2})}$ をまとめます。

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) + x \frac{- 6}{\cos^{2} (x^{2})} \tan^{2} (x^{2})$

ステップ 4.2.4.2

$x$ と $\frac{- 6}{\cos^{2} (x^{2})}$ をまとめます。

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) + \frac{x \cdot - 6}{\cos^{2} (x^{2})} \tan^{2} (x^{2})$

ステップ 4.2.5

$- 6$ を $x$ の左に移動させます。

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) + \frac{- 6 \cdot x}{\cos^{2} (x^{2})} \tan^{2} (x^{2})$

ステップ 4.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{6 \cdot x}{\cos^{2} (x^{2})} \tan^{2} (x^{2})$

ステップ 4.2.7

正弦と余弦に関して $\tan (x^{2})$ を書き換えます。

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{6 x}{\cos^{2} (x^{2})} {(\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})})}^{2}$

ステップ 4.2.8

積の法則を $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ に当てはめます。

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{6 x}{\cos^{2} (x^{2})} \cdot \frac{\sin^{2} (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})}$

ステップ 4.2.9

$- \frac{6 x}{\cos^{2} (x^{2})} \cdot \frac{\sin^{2} (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})}$ を掛けます。

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ステップ 4.2.9.1

$\frac{\sin^{2} (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})}$ に $\frac{6 x}{\cos^{2} (x^{2})}$ をかけます。

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{\sin^{2} (x^{2}) (6 x)}{\cos^{2} (x^{2}) \cos^{2} (x^{2})}$

ステップ 4.2.9.2

指数を足して $\cos^{2} (x^{2})$ に $\cos^{2} (x^{2})$ を掛けます。

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ステップ 4.2.9.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{\sin^{2} (x^{2}) (6 x)}{{\cos (x^{2})}^{2 + 2}}$

ステップ 4.2.9.2.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{\sin^{2} (x^{2}) (6 x)}{\cos^{4} (x^{2})}$

ステップ 4.2.10

$6$ を $\sin^{2} (x^{2})$ の左に移動させます。

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{6 \sin^{2} (x^{2}) x}{\cos^{4} (x^{2})}$

ステップ 4.3

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$1$ を掛けます。

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{6 (\sin^{2} (x^{2}) \cdot 1) x}{\cos^{4} (x^{2})}$

ステップ 4.3.2

$\cos^{2} (x^{2})$ を $\cos^{4} (x^{2})$ で因数分解します。

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{6 (\sin^{2} (x^{2}) \cdot 1) x}{\cos^{2} (x^{2}) \cos^{2} (x^{2})}$

ステップ 4.3.3

分数を分解します。

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - (\frac{6 \cdot (1) x}{\cos^{2} (x^{2})} \cdot \frac{\sin^{2} (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})})$

ステップ 4.3.4

$\frac{\sin^{2} (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})}$ を $\tan^{2} (x^{2})$ に変換します。

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - (\frac{6 \cdot (1) x}{\cos^{2} (x^{2})} \tan^{2} (x^{2}))$

ステップ 4.3.5

$6$ に $1$ をかけます。

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - (\frac{6 x}{\cos^{2} (x^{2})} \tan^{2} (x^{2}))$

ステップ 4.3.6

$\frac{6 x}{\cos^{2} (x^{2})}$ と $\tan^{2} (x^{2})$ をまとめます。

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{6 x \tan^{2} (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})}$

ステップ 4.3.7

$1$ を掛けます。

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{6 x \tan^{2} (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2}) \cdot 1}$

ステップ 4.3.8

分数を分解します。

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - (\frac{6 x}{1} \cdot \frac{\tan^{2} (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})})$

ステップ 4.3.9

$\frac{1}{\cos^{2} (x^{2})}$ を $\sec^{2} (x^{2})$ に変換します。

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - (\frac{6 x}{1} (\tan^{2} (x^{2}) \sec^{2} (x^{2})))$

ステップ 4.3.10

$6 x$ を $1$ で割ります。

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - (6 x (\tan^{2} (x^{2}) \sec^{2} (x^{2})))$

ステップ 4.3.11

$6$ に $- 1$ をかけます。

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - 6 x (\tan^{2} (x^{2}) \sec^{2} (x^{2}))$

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - 6 x \tan^{2} (x^{2}) \sec^{2} (x^{2})$

微分積分 例

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