微分積分例

$H (t) = (t^{5 - 1}) e^{4 t - 3}$

ステップ 1

$5$ から $1$ を引きます。

$\frac{d}{d t} [t^{4} e^{4 t - 3}]$

ステップ 2

$f (t) = t^{4}$ および $g (t) = e^{4 t - 3}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$t^{4} \frac{d}{d t} [e^{4 t - 3}] + e^{4 t - 3} \frac{d}{d t} [t^{4}]$

ステップ 3

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = 4 t - 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 t - 3$ とします。

$t^{4} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [4 t - 3]) + e^{4 t - 3} \frac{d}{d t} [t^{4}]$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$t^{4} (e^{u} \frac{d}{d t} [4 t - 3]) + e^{4 t - 3} \frac{d}{d t} [t^{4}]$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $4 t - 3$ で置き換えます。

$t^{4} (e^{4 t - 3} \frac{d}{d t} [4 t - 3]) + e^{4 t - 3} \frac{d}{d t} [t^{4}]$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $4 t - 3$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ です。

$t^{4} (e^{4 t - 3} (\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 3])) + e^{4 t - 3} \frac{d}{d t} [t^{4}]$

ステップ 4.2

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $4 t$ の微分係数は $4 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$t^{4} (e^{4 t - 3} (4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3])) + e^{4 t - 3} \frac{d}{d t} [t^{4}]$

ステップ 4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$t^{4} (e^{4 t - 3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 3])) + e^{4 t - 3} \frac{d}{d t} [t^{4}]$

ステップ 4.4

$4$ に $1$ をかけます。

$t^{4} (e^{4 t - 3} (4 + \frac{d}{d t} [- 3])) + e^{4 t - 3} \frac{d}{d t} [t^{4}]$

ステップ 4.5

$- 3$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$t^{4} (e^{4 t - 3} (4 + 0)) + e^{4 t - 3} \frac{d}{d t} [t^{4}]$

ステップ 4.6

式を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$t^{4} (e^{4 t - 3} \cdot 4) + e^{4 t - 3} \frac{d}{d t} [t^{4}]$

ステップ 4.6.2

$4$ を $e^{4 t - 3}$ の左に移動させます。

$t^{4} (4 \cdot e^{4 t - 3}) + e^{4 t - 3} \frac{d}{d t} [t^{4}]$

ステップ 4.7

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$t^{4} (4 e^{4 t - 3}) + e^{4 t - 3} (4 t^{3})$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

項を並べ替えます。

$4 e^{4 t - 3} t^{4} + 4 e^{4 t - 3} t^{3}$

ステップ 5.2

$4 e^{4 t - 3} t^{4} + 4 e^{4 t - 3} t^{3}$ の因数を並べ替えます。

$4 t^{4} e^{4 t - 3} + 4 t^{3} e^{4 t - 3}$

微分積分 例

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