微分積分例

$h (x) = {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{5}$

ステップ 1

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

ステップ 1.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ で置き換えます。

$5 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

ステップ 2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 1 + \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$5 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{4} \frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$5 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{4} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $1 + \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$5 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{4} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 4.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$5 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{4} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 4.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ をたし算します。

$5 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{4} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 5

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$5 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{4} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 6

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$5 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{4} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 7

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$5 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{4} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{4} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 9

$1$ と $1$ をたし算します。

$5 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{4} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 10

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ と $5$ をまとめます。

$\frac{((1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)) \cdot 5}{{(1 + \sin (x))}^{2}} {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{4}$

ステップ 11

$5$ を $(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)$ の左に移動させます。

$\frac{5 \cdot ((1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{4}$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

積の法則を $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ に当てはめます。

$\frac{5 ((1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$

ステップ 12.2

分配則を当てはめます。

$\frac{5 (1 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$

ステップ 12.3

分配則を当てはめます。

$\frac{5 (1 (- \sin (x))) + 5 (\sin (x) (- \sin (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$

ステップ 12.4

項をまとめます。

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ステップ 12.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{5 (- 1 \sin (x)) + 5 (\sin (x) (- \sin (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$

ステップ 12.4.2

$- 1 \sin (x)$ を $- \sin (x)$ に書き換えます。

$\frac{5 (- \sin (x)) + 5 (\sin (x) (- \sin (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$

ステップ 12.4.3

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (\sin (x) (- \sin (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$

ステップ 12.4.4

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- (\sin^{1} (x) \sin (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$

ステップ 12.4.5

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$

ステップ 12.4.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- {\sin (x)}^{1 + 1}) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$

ステップ 12.4.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- \sin^{2} (x)) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$

ステップ 12.4.8

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 \sin^{2} (x) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$

ステップ 12.4.9

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 \sin^{2} (x) - 5 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$

ステップ 12.4.10

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 \sin^{2} (x) - 5 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ に $\frac{\cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$ をかけます。

$\frac{(- 5 \sin (x) - 5 \sin^{2} (x) - 5 \cos^{2} (x)) \cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2} {(1 + \sin (x))}^{4}}$

ステップ 12.4.11

指数を足して ${(1 + \sin (x))}^{2}$ に ${(1 + \sin (x))}^{4}$ を掛けます。

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ステップ 12.4.11.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(- 5 \sin (x) - 5 \sin^{2} (x) - 5 \cos^{2} (x)) \cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2 + 4}}$

ステップ 12.4.11.2

$2$ と $4$ をたし算します。

$\frac{(- 5 \sin (x) - 5 \sin^{2} (x) - 5 \cos^{2} (x)) \cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{6}}$

ステップ 12.5

項を並べ替えます。

$\frac{\cos^{4} (x) (- 5 \sin (x) - 5 \sin^{2} (x) - 5 \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{6}}$

ステップ 12.6

$- 5$ を $- 5 \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\cos^{4} (x) (- 5 \sin (x) - 5 (\sin^{2} (x)) - 5 \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{6}}$

ステップ 12.7

$- 5$ を $- 5 \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\cos^{4} (x) (- 5 \sin (x) - 5 (\sin^{2} (x)) - 5 (\cos^{2} (x)))}{{(1 + \sin (x))}^{6}}$

ステップ 12.8

$- 5$ を $- 5 (\sin^{2} (x)) - 5 (\cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$\frac{\cos^{4} (x) (- 5 \sin (x) - 5 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)))}{{(1 + \sin (x))}^{6}}$

ステップ 12.9

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\cos^{4} (x) (- 5 \sin (x) - 5 \cdot 1)}{{(1 + \sin (x))}^{6}}$

ステップ 12.10

$- 5$ を $- 5 \sin (x) - 5 \cdot 1$ で因数分解します。

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ステップ 12.10.1

$- 5$ を $- 5 \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{\cos^{4} (x) (- 5 (\sin (x)) - 5 \cdot 1)}{{(1 + \sin (x))}^{6}}$

ステップ 12.10.2

$- 5$ を $- 5 \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{\cos^{4} (x) (- 5 (\sin (x)) - 5 (1))}{{(1 + \sin (x))}^{6}}$

ステップ 12.10.3

$- 5$ を $- 5 (\sin (x)) - 5 (1)$ で因数分解します。

$\frac{\cos^{4} (x) (- 5 (\sin (x) + 1))}{{(1 + \sin (x))}^{6}}$

$\frac{\cos^{4} (x) \cdot - 5 (\sin (x) + 1)}{{(1 + \sin (x))}^{6}}$

ステップ 12.11

$\sin (x) + 1$ と ${(1 + \sin (x))}^{6}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.11.1

項を並べ替えます。

$\frac{\cos^{4} (x) \cdot - 5 (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{6}}$

ステップ 12.11.2

$1 + \sin (x)$ を $\cos^{4} (x) \cdot - 5 (1 + \sin (x))$ で因数分解します。

$\frac{(1 + \sin (x)) (\cos^{4} (x) \cdot - 5)}{{(1 + \sin (x))}^{6}}$

ステップ 12.11.3

共通因数を約分します。

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ステップ 12.11.3.1

$1 + \sin (x)$ を ${(1 + \sin (x))}^{6}$ で因数分解します。

$\frac{(1 + \sin (x)) (\cos^{4} (x) \cdot - 5)}{(1 + \sin (x)) {(1 + \sin (x))}^{5}}$

ステップ 12.11.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{(1 + \sin (x)) (\cos^{4} (x) \cdot - 5)}{(1 + \sin (x)) {(1 + \sin (x))}^{5}}$

ステップ 12.11.3.3

式を書き換えます。

$\frac{\cos^{4} (x) \cdot - 5}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

ステップ 12.12

$- 5$ を $\cos^{4} (x)$ の左に移動させます。

$\frac{- 5 \cdot \cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

ステップ 12.13

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5 \cos^{4} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

微分積分 例

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