微分積分例

$p (t) = 400 (t + \ln (24 + t^{2})) + 60000 - 400 \ln (24)$

ステップ 1

総和則では、 $400 (t + \ln (24 + t^{2})) + 60000 - 400 \ln (24)$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [400 (t + \ln (24 + t^{2}))] + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$ です。

$\frac{d}{d t} [400 (t + \ln (24 + t^{2}))] + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d t} [400 (t + \ln (24 + t^{2}))]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$400$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $400 (t + \ln (24 + t^{2}))$ の微分係数は $400 \frac{d}{d t} [t + \ln (24 + t^{2})]$ です。

$400 \frac{d}{d t} [t + \ln (24 + t^{2})] + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

ステップ 2.2

総和則では、 $t + \ln (24 + t^{2})$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\ln (24 + t^{2})]$ です。

$400 (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\ln (24 + t^{2})]) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$400 (1 + \frac{d}{d t} [\ln (24 + t^{2})]) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

ステップ 2.4

$f (t) = \ln (t)$ および $g (t) = 24 + t^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $24 + t^{2}$ とします。

$400 (1 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [24 + t^{2}]) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

ステップ 2.4.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$400 (1 + \frac{1}{u} \frac{d}{d t} [24 + t^{2}]) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

ステップ 2.4.3

$u$ のすべての発生を $24 + t^{2}$ で置き換えます。

$400 (1 + \frac{1}{24 + t^{2}} \frac{d}{d t} [24 + t^{2}]) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

ステップ 2.5

総和則では、 $24 + t^{2}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [24] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$400 (1 + \frac{1}{24 + t^{2}} (\frac{d}{d t} [24] + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

ステップ 2.6

$24$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $24$ の微分係数は $0$ です。

$400 (1 + \frac{1}{24 + t^{2}} (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

ステップ 2.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$400 (1 + \frac{1}{24 + t^{2}} (0 + 2 t)) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

ステップ 2.8

$0$ と $2 t$ をたし算します。

$400 (1 + \frac{1}{24 + t^{2}} (2 t)) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

ステップ 2.9

$2$ と $\frac{1}{24 + t^{2}}$ をまとめます。

$400 (1 + \frac{2}{24 + t^{2}} t) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

ステップ 2.10

$\frac{2}{24 + t^{2}}$ と $t$ をまとめます。

$400 (1 + \frac{2 t}{24 + t^{2}}) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

ステップ 2.11

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$400 (\frac{24 + t^{2}}{24 + t^{2}} + \frac{2 t}{24 + t^{2}}) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

ステップ 2.12

公分母の分子をまとめます。

$400 \frac{24 + t^{2} + 2 t}{24 + t^{2}} + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

ステップ 2.13

$400$ と $\frac{24 + t^{2} + 2 t}{24 + t^{2}}$ をまとめます。

$\frac{400 (24 + t^{2} + 2 t)}{24 + t^{2}} + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

ステップ 3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.1

$60000$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $60000$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{400 (24 + t^{2} + 2 t)}{24 + t^{2}} + 0 + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

ステップ 3.2

$- 400 \ln (24)$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 400 \ln (24)$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{400 (24 + t^{2} + 2 t)}{24 + t^{2}} + 0 + 0$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{400 \cdot 24 + 400 t^{2} + 400 (2 t)}{24 + t^{2}} + 0 + 0$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$400$ に $24$ をかけます。

$\frac{9600 + 400 t^{2} + 400 (2 t)}{24 + t^{2}} + 0 + 0$

ステップ 4.2.2

$2$ に $400$ をかけます。

$\frac{9600 + 400 t^{2} + 800 t}{24 + t^{2}} + 0 + 0$

ステップ 4.2.3

$\frac{9600 + 400 t^{2} + 800 t}{24 + t^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{9600 + 400 t^{2} + 800 t}{24 + t^{2}} + 0$

ステップ 4.2.4

$\frac{9600 + 400 t^{2} + 800 t}{24 + t^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{9600 + 400 t^{2} + 800 t}{24 + t^{2}}$

ステップ 4.3

項を並べ替えます。

$\frac{400 t^{2} + 800 t + 9600}{t^{2} + 24}$

ステップ 4.4

$400$ を $400 t^{2} + 800 t + 9600$ で因数分解します。

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ステップ 4.4.1

$400$ を $400 t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{400 (t^{2}) + 800 t + 9600}{t^{2} + 24}$

ステップ 4.4.2

$400$ を $800 t$ で因数分解します。

$\frac{400 (t^{2}) + 400 (2 t) + 9600}{t^{2} + 24}$

ステップ 4.4.3

$400$ を $9600$ で因数分解します。

$\frac{400 t^{2} + 400 (2 t) + 400 \cdot 24}{t^{2} + 24}$

ステップ 4.4.4

$400$ を $400 t^{2} + 400 (2 t)$ で因数分解します。

$\frac{400 (t^{2} + 2 t) + 400 \cdot 24}{t^{2} + 24}$

ステップ 4.4.5

$400$ を $400 (t^{2} + 2 t) + 400 \cdot 24$ で因数分解します。

$\frac{400 (t^{2} + 2 t + 24)}{t^{2} + 24}$

微分積分 例

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