微分積分例

$P (k) = \frac{160}{1 + 0.05 e^{2 (- k)}}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{d}{d k} [\frac{160}{1 + 0.05 e^{- 2 k}}]$

ステップ 1.2

$160$ は $k$ に対して定数なので、 $k$ に対する $\frac{160}{1 + 0.05 e^{- 2 k}}$ の微分係数は $160 \frac{d}{d k} [\frac{1}{1 + 0.05 e^{- 2 k}}]$ です。

$160 \frac{d}{d k} [\frac{1}{1 + 0.05 e^{- 2 k}}]$

ステップ 1.3

$\frac{1}{1 + 0.05 e^{- 2 k}}$ を ${(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 1}$ に書き換えます。

$160 \frac{d}{d k} [{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 1}]$

ステップ 2

$f (k) = k^{- 1}$ および $g (k) = 1 + 0.05 e^{- 2 k}$ のとき、 $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ は $f' (g (k)) g' (k)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $1 + 0.05 e^{- 2 k}$ とします。

$160 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d k} [1 + 0.05 e^{- 2 k}])$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$160 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d k} [1 + 0.05 e^{- 2 k}])$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $1 + 0.05 e^{- 2 k}$ で置き換えます。

$160 (- {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} \frac{d}{d k} [1 + 0.05 e^{- 2 k}])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- 1$ に $160$ をかけます。

$- 160 ({(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} \frac{d}{d k} [1 + 0.05 e^{- 2 k}])$

ステップ 3.2

総和則では、 $1 + 0.05 e^{- 2 k}$ の $k$ に関する積分は $\frac{d}{d k} [1] + \frac{d}{d k} [0.05 e^{- 2 k}]$ です。

$- 160 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (\frac{d}{d k} [1] + \frac{d}{d k} [0.05 e^{- 2 k}])$

ステップ 3.3

$1$ は $k$ について定数なので、 $k$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- 160 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d k} [0.05 e^{- 2 k}])$

ステップ 3.4

$0$ と $\frac{d}{d k} [0.05 e^{- 2 k}]$ をたし算します。

$- 160 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} \frac{d}{d k} [0.05 e^{- 2 k}]$

ステップ 3.5

$0.05$ は $k$ に対して定数なので、 $k$ に対する $0.05 e^{- 2 k}$ の微分係数は $0.05 \frac{d}{d k} [e^{- 2 k}]$ です。

$- 160 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (0.05 \frac{d}{d k} [e^{- 2 k}])$

ステップ 3.6

$0.05$ に $- 160$ をかけます。

$- 8 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} \frac{d}{d k} [e^{- 2 k}]$

ステップ 4

$f (k) = e^{k}$ および $g (k) = - 2 k$ のとき、 $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ は $f' (g (k)) g' (k)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- 2 k$ とします。

$- 8 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d k} [- 2 k])$

ステップ 4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- 8 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d k} [- 2 k])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- 2 k$ で置き換えます。

$- 8 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (e^{- 2 k} \frac{d}{d k} [- 2 k])$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$- 2$ は $k$ に対して定数なので、 $k$ に対する $- 2 k$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d k} [k]$ です。

$- 8 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (e^{- 2 k} (- 2 \frac{d}{d k} [k]))$

ステップ 5.2

$- 2$ に $- 8$ をかけます。

$16 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (e^{- 2 k} (\frac{d}{d k} [k]))$

ステップ 5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ は $n k^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$16 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (e^{- 2 k} \cdot 1)$

ステップ 5.4

$e^{- 2 k}$ に $1$ をかけます。

$16 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} e^{- 2 k}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$16 \frac{1}{{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{2}} e^{- 2 k}$

ステップ 6.2

項をまとめます。

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ステップ 6.2.1

$16$ と $\frac{1}{{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{16}{{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{2}} e^{- 2 k}$

ステップ 6.2.2

$\frac{16}{{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{2}}$ と $e^{- 2 k}$ をまとめます。

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{2}}$

ステップ 6.3

項を並べ替えます。

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{(0.05 e^{- 2 k} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.4

分母を簡約します。

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ステップ 6.4.1

$0.05$ を $0.05 e^{- 2 k} + 1$ で因数分解します。

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ステップ 6.4.1.1

$0.05$ を $0.05 e^{- 2 k}$ で因数分解します。

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{(0.05 (e^{- 2 k}) + 1)}^{2}}$

ステップ 6.4.1.2

$0.05$ を $1$ で因数分解します。

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{(0.05 e^{- 2 k} + 0.05 \cdot 20)}^{2}}$

ステップ 6.4.1.3

$0.05$ を $0.05 e^{- 2 k} + 0.05 \cdot 20$ で因数分解します。

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{(0.05 (e^{- 2 k} + 20))}^{2}}$

ステップ 6.4.2

積の法則を $0.05 (e^{- 2 k} + 20)$ に当てはめます。

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{0.05}^{2} {(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$

ステップ 6.4.3

$0.05$ を $2$ 乗します。

$\frac{16 e^{- 2 k}}{0.0025 {(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$

ステップ 6.5

$16$ を $16 e^{- 2 k}$ で因数分解します。

$\frac{16 (e^{- 2 k})}{0.0025 {(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$

ステップ 6.6

$0.0025$ を $0.0025 {(e^{- 2 k} + 20)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{16 (e^{- 2 k})}{0.0025 ({(e^{- 2 k} + 20)}^{2})}$

ステップ 6.7

分数を分解します。

$\frac{16}{0.0025} \cdot \frac{e^{- 2 k}}{{(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$

ステップ 6.8

$16$ を $0.0025$ で割ります。

$6400 \frac{e^{- 2 k}}{{(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$

ステップ 6.9

$6400$ と $\frac{e^{- 2 k}}{{(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{6400 e^{- 2 k}}{{(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$

微分積分 例

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