微分積分例

$M (t) = 100 (1 - e^{- \frac{t}{100}})$

ステップ 1

微分します。

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ステップ 1.1

$100$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $100 (1 - e^{- \frac{t}{100}})$ の微分係数は $100 \frac{d}{d t} [1 - e^{- \frac{t}{100}}]$ です。

$100 \frac{d}{d t} [1 - e^{- \frac{t}{100}}]$

ステップ 1.2

総和則では、 $1 - e^{- \frac{t}{100}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{- \frac{t}{100}}]$ です。

$100 (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{- \frac{t}{100}}])$

ステップ 1.3

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$100 (0 + \frac{d}{d t} [- e^{- \frac{t}{100}}])$

ステップ 1.4

$0$ と $\frac{d}{d t} [- e^{- \frac{t}{100}}]$ をたし算します。

$100 \frac{d}{d t} [- e^{- \frac{t}{100}}]$

ステップ 1.5

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- e^{- \frac{t}{100}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{100}}]$ です。

$100 (- \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{100}}])$

ステップ 1.6

$- 1$ に $100$ をかけます。

$- 100 \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{100}}]$

ステップ 2

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = - \frac{t}{100}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- \frac{t}{100}$ とします。

$- 100 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- \frac{t}{100}])$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- 100 (e^{u} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{100}])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $- \frac{t}{100}$ で置き換えます。

$- 100 (e^{- \frac{t}{100}} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{100}])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- \frac{1}{100}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- \frac{t}{100}$ の微分係数は $- \frac{1}{100} \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- 100 e^{- \frac{t}{100}} (- \frac{1}{100} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3.2

項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$- 1$ に $- 100$ をかけます。

$100 e^{- \frac{t}{100}} (\frac{1}{100} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{100}$ と $100$ をまとめます。

$\frac{100}{100} e^{- \frac{t}{100}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.2.3

$\frac{100}{100}$ と $e^{- \frac{t}{100}}$ をまとめます。

$\frac{100 e^{- \frac{t}{100}}}{100} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.2.4

$100$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{100 e^{- \frac{t}{100}}}{100} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.2.4.2

$e^{- \frac{t}{100}}$ を $1$ で割ります。

$e^{- \frac{t}{100}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- \frac{t}{100}} \cdot 1$

ステップ 3.4

$e^{- \frac{t}{100}}$ に $1$ をかけます。

$e^{- \frac{t}{100}}$

微分積分 例

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