微分積分例

$r (t) = e^{5 t} i + e^{5 t} \cos (t) j + e^{5 t} \sin (t) k$

ステップ 1

総和則では、 $e^{5 t} i + e^{5 t} \cos (t) j + e^{5 t} \sin (t) k$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [e^{5 t} i] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$ です。

$\frac{d}{d t} [e^{5 t} i] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

ステップ 2

$\frac{d}{d t} [e^{5 t} i]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$i$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $e^{5 t} i$ の微分係数は $i \frac{d}{d t} [e^{5 t}]$ です。

$i \frac{d}{d t} [e^{5 t}] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

ステップ 2.2

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = 5 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $5 t$ とします。

$i (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [5 t]) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

ステップ 2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$i (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [5 t]) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

ステップ 2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $5 t$ で置き換えます。

$i (e^{5 t} \frac{d}{d t} [5 t]) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

ステップ 2.3

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $5 t$ の微分係数は $5 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$i (e^{5 t} (5 \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$i (e^{5 t} (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

ステップ 2.5

$5$ に $1$ をかけます。

$i (e^{5 t} \cdot 5) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

ステップ 2.6

$5$ を $e^{5 t}$ の左に移動させます。

$i (5 \cdot e^{5 t}) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

ステップ 2.7

$5$ を $i$ の左に移動させます。

$5 i e^{5 t} + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

ステップ 3

$\frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$j$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $e^{5 t} \cos (t) j$ の微分係数は $j \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t)]$ です。

$5 i e^{5 t} + j \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t)] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

ステップ 3.2

$f (t) = e^{5 t}$ および $g (t) = \cos (t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} \frac{d}{d t} [\cos (t)] + \cos (t) \frac{d}{d t} [e^{5 t}]) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

ステップ 3.3

$t$ に関する $\cos (t)$ の微分係数は $- \sin (t)$ です。

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) \frac{d}{d t} [e^{5 t}]) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

ステップ 3.4

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = 5 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $5 t$ とします。

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [5 t])) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

ステップ 3.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [5 t])) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

ステップ 3.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $5 t$ で置き換えます。

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (e^{5 t} \frac{d}{d t} [5 t])) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

ステップ 3.5

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $5 t$ の微分係数は $5 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (e^{5 t} (5 \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (e^{5 t} (5 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

ステップ 3.7

$5$ に $1$ をかけます。

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (e^{5 t} \cdot 5)) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

ステップ 3.8

$5$ を $e^{5 t}$ の左に移動させます。

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

ステップ 4

$\frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$k$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $e^{5 t} \sin (t) k$ の微分係数は $k \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t)]$ です。

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t)]$

ステップ 4.2

$f (t) = e^{5 t}$ および $g (t) = \sin (t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \frac{d}{d t} [\sin (t)] + \sin (t) \frac{d}{d t} [e^{5 t}])$

ステップ 4.3

$t$ に関する $\sin (t)$ の微分係数は $\cos (t)$ です。

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) \frac{d}{d t} [e^{5 t}])$

ステップ 4.4

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = 5 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $5 t$ とします。

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [5 t]))$

ステップ 4.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ は $a^{u_{3}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [5 t]))$

ステップ 4.4.3

$u_{3}$ のすべての発生を $5 t$ で置き換えます。

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (e^{5 t} \frac{d}{d t} [5 t]))$

ステップ 4.5

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $5 t$ の微分係数は $5 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (e^{5 t} (5 \frac{d}{d t} [t])))$

ステップ 4.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (e^{5 t} (5 \cdot 1)))$

ステップ 4.7

$5$ に $1$ をかけます。

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (e^{5 t} \cdot 5))$

ステップ 4.8

$5$ を $e^{5 t}$ の左に移動させます。

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (5 e^{5 t}))$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t))) + j (\cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (5 e^{5 t}))$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t))) + j (\cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t)) + k (\sin (t) (5 e^{5 t}))$

ステップ 5.3

不要な括弧を削除します。

$5 i e^{5 t} + j e^{5 t} (- \sin (t)) + j \cos (t) (5 e^{5 t}) + k e^{5 t} \cos (t) + k \sin (t) (5 e^{5 t})$

ステップ 5.4

項を並べ替えます。

$5 i e^{5 t} - e^{5 t} j \sin (t) + 5 e^{5 t} j \cos (t) + e^{5 t} k \cos (t) + 5 e^{5 t} k \sin (t)$

ステップ 5.5

$5 i e^{5 t} - e^{5 t} j \sin (t) + 5 e^{5 t} j \cos (t) + e^{5 t} k \cos (t) + 5 e^{5 t} k \sin (t)$ の因数を並べ替えます。

$5 i e^{5 t} - j e^{5 t} \sin (t) + 5 j e^{5 t} \cos (t) + k e^{5 t} \cos (t) + 5 k e^{5 t} \sin (t)$

微分積分 例

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