微分積分例

$r (t) = \frac{1}{t} \cdot i + \ln (t) j + e^{2 t} k$

ステップ 1

総和則では、 $\frac{1}{t} \cdot i + \ln (t) j + e^{2 t} k$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t} \cdot i] + \frac{d}{d t} [\ln (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$ です。

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t} \cdot i] + \frac{d}{d t} [\ln (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

ステップ 2

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t} \cdot i]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{t}$ と $i$ をまとめます。

$\frac{d}{d t} [\frac{i}{t}] + \frac{d}{d t} [\ln (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

ステップ 2.2

$i$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{i}{t}$ の微分係数は $i \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ です。

$i \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}] + \frac{d}{d t} [\ln (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

ステップ 2.3

$\frac{1}{t}$ を $t^{- 1}$ に書き換えます。

$i \frac{d}{d t} [t^{- 1}] + \frac{d}{d t} [\ln (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

ステップ 2.4

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$i (- t^{- 2}) + \frac{d}{d t} [\ln (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

ステップ 3

$\frac{d}{d t} [\ln (t) j]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$j$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\ln (t) j$ の微分係数は $j \frac{d}{d t} [\ln (t)]$ です。

$i (- t^{- 2}) + j \frac{d}{d t} [\ln (t)] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

ステップ 3.2

$t$ に関する $\ln (t)$ の微分係数は $\frac{1}{t}$ です。

$i (- t^{- 2}) + j \frac{1}{t} + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

ステップ 3.3

$j$ と $\frac{1}{t}$ をまとめます。

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

ステップ 4

$\frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$k$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $e^{2 t} k$ の微分係数は $k \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$ です。

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

ステップ 4.2

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = 2 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 t$ とします。

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [2 t])$

ステップ 4.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (e^{u} \frac{d}{d t} [2 t])$

ステップ 4.2.3

$u$ のすべての発生を $2 t$ で置き換えます。

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t])$

ステップ 4.3

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (e^{2 t} (2 \frac{d}{d t} [t]))$

ステップ 4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (e^{2 t} (2 \cdot 1))$

ステップ 4.5

$2$ に $1$ をかけます。

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (e^{2 t} \cdot 2)$

ステップ 4.6

$2$ を $e^{2 t}$ の左に移動させます。

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (2 \cdot e^{2 t})$

ステップ 4.7

$2$ を $k$ の左に移動させます。

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + 2 k e^{2 t}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$i (- \frac{1}{t^{2}}) + \frac{j}{t} + 2 k e^{2 t}$

ステップ 5.2

$i$ と $\frac{1}{t^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{i}{t^{2}} + \frac{j}{t} + 2 k e^{2 t}$

ステップ 5.3

項を並べ替えます。

$2 e^{2 t} k - \frac{i}{t^{2}} + \frac{j}{t}$

ステップ 5.4

$2 e^{2 t} k - \frac{i}{t^{2}} + \frac{j}{t}$ の因数を並べ替えます。

$2 k e^{2 t} - \frac{i}{t^{2}} + \frac{j}{t}$

微分積分 例

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