微分積分例

$g (x) = \frac{\ln (x - 1)}{x - 2}$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x - 1)$ および $g (x) = x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)] - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 1]) - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{(x - 2) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1]) - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$\frac{(x - 2) (\frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} (1 + 0) - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.4

式を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} \cdot 1 - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.4.2

$x - 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.5

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} - \ln (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} - \ln (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.7

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} - \ln (x - 1) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.8

式を簡約します。

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ステップ 3.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} - \ln (x - 1) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} - \ln (x - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$x - 2$ に $\frac{1}{x - 1}$ をかけます。

$\frac{\frac{x - 2}{x - 1} - \ln (x - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.1.2

$- \ln (x - 1)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 1}{x - 1}$ を掛けます。

$\frac{\frac{x - 2}{x - 1} - \ln (x - 1) \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.1.3

$- \ln (x - 1)$ と $\frac{x - 1}{x - 1}$ をまとめます。

$\frac{\frac{x - 2}{x - 1} + \frac{- \ln (x - 1) (x - 1)}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{x - 2 - \ln (x - 1) (x - 1)}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{x - 2 - \ln (x - 1) x - \ln (x - 1) \cdot - 1}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.1.5.2

$- \ln (x - 1) \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 4.1.5.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{x - 2 - \ln (x - 1) x + 1 \ln (x - 1)}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.1.5.2.2

$\ln (x - 1)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{x - 2 - \ln (x - 1) x + \ln (x - 1)}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.1.6

$\frac{x - 2 - \ln (x - 1) x + \ln (x - 1)}{x - 1}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\frac{x - 2 - x \ln (x - 1) + \ln (x - 1)}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$\frac{\frac{x - 2 - x \ln (x - 1) + \ln (x - 1)}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$ を積として書き換えます。

$\frac{x - 2 - x \ln (x - 1) + \ln (x - 1)}{x - 1} \cdot \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

$\frac{x - 2 - x \ln (x - 1) + \ln (x - 1)}{x - 1}$ に $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{x - 2 - x \ln (x - 1) + \ln (x - 1)}{(x - 1) {(x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.3

項を並べ替えます。

$\frac{- x \ln (x - 1) + x - 2 + \ln (x - 1)}{{(x - 2)}^{2} (x - 1)}$

微分積分 例

微分積分例