微分積分例

$g (x) = (x^{2} + 1) \arctan (x)$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} + 1$ および $g (x) = \arctan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2

$x$ に関する $\arctan (x)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + x^{2}}$ です。

$(x^{2} + 1) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$(x^{2} + 1) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} + 1) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(x^{2} + 1) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x + 0)$

ステップ 3.4

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$(x^{2} + 1) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

項を並べ替えます。

$(x^{2} + 1) \frac{1}{1 + x^{2}} + 2 x \arctan (x)$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$x^{2} + 1$ に $\frac{1}{1 + x^{2}}$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 1}{1 + x^{2}} + 2 x \arctan (x)$

ステップ 4.2.2

$x^{2} + 1$ と $1 + x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1

項を並べ替えます。

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} + 2 x \arctan (x)$

ステップ 4.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} + 2 x \arctan (x)$

ステップ 4.2.2.3

式を書き換えます。

$1 + 2 x \arctan (x)$

微分積分 例

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