微分積分例

$g (x) = {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 1}$

ステップ 1

$f (t) = t^{- 1}$ および $g (t) = \frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}]$

ステップ 1.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}$ で置き換えます。

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}]$

ステップ 2

$f (t) = 1 + \sin (3 t)$ および $g (t) = 3 - 2 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) \frac{d}{d t} [1 + \sin (3 t)] - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $1 + \sin (3 t)$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]$ です。

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

ステップ 3.2

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) (0 + \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d t} [\sin (3 t)]$ をたし算します。

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) \frac{d}{d t} [\sin (3 t)] - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

ステップ 4

$f (t) = \sin (t)$ および $g (t) = 3 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $3 t$ とします。

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 t]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

ステップ 4.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [3 t]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $3 t$ で置き換えます。

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) (\cos (3 t) \frac{d}{d t} [3 t]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) \cos (3 t) (3 \frac{d}{d t} [t]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

ステップ 5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) \cos (3 t) (3 \cdot 1) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

ステップ 5.3

式を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$3$ に $1$ をかけます。

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) \cos (3 t) \cdot 3 - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$3$ を $(3 - 2 t) \cos (3 t)$ の左に移動させます。

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 \cdot ((3 - 2 t) \cos (3 t)) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

ステップ 5.4

総和則では、 $3 - 2 t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- 2 t]$ です。

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) - (1 + \sin (3 t)) (\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- 2 t])}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

ステップ 5.5

$3$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) - (1 + \sin (3 t)) (0 + \frac{d}{d t} [- 2 t])}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

ステップ 5.6

$0$ と $\frac{d}{d t} [- 2 t]$ をたし算します。

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [- 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

ステップ 5.7

$- 2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- 2 t$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) - (1 + \sin (3 t)) (- 2 \frac{d}{d t} [t])}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

ステップ 5.8

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

ステップ 5.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t)) \cdot 1}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

ステップ 5.10

$2$ に $1$ をかけます。

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

積の法則を $\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}$ に当てはめます。

$- \frac{{(1 + \sin (3 t))}^{- 2}}{{(3 - 2 t)}^{- 2}} \cdot \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{{(1 + \sin (3 t))}^{- 2}}{{(3 - 2 t)}^{- 2}} \cdot \frac{(3 \cdot 3 + 3 (- 2 t)) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{{(1 + \sin (3 t))}^{- 2}}{{(3 - 2 t)}^{- 2}} \cdot \frac{3 \cdot 3 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

ステップ 6.4

分配則を当てはめます。

$- \frac{{(1 + \sin (3 t))}^{- 2}}{{(3 - 2 t)}^{- 2}} \cdot \frac{3 \cdot 3 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

ステップ 6.5

項をまとめます。

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ステップ 6.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 + \sin (3 t))}^{- 2}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{{(3 - 2 t)}^{- 2} {(1 + \sin (3 t))}^{2}} \cdot \frac{3 \cdot 3 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

ステップ 6.5.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ を利用して ${(3 - 2 t)}^{- 2}$ を分子に移動させます。

$- \frac{{(3 - 2 t)}^{2}}{{(1 + \sin (3 t))}^{2}} \cdot \frac{3 \cdot 3 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

ステップ 6.5.3

$3$ に $3$ をかけます。

$- \frac{{(3 - 2 t)}^{2}}{{(1 + \sin (3 t))}^{2}} \cdot \frac{9 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

ステップ 6.5.4

$- 2$ に $3$ をかけます。

$- \frac{{(3 - 2 t)}^{2}}{{(1 + \sin (3 t))}^{2}} \cdot \frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

ステップ 6.5.5

$2$ に $1$ をかけます。

$- \frac{{(3 - 2 t)}^{2}}{{(1 + \sin (3 t))}^{2}} \cdot \frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

ステップ 6.5.6

$\frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$ に $\frac{{(3 - 2 t)}^{2}}{{(1 + \sin (3 t))}^{2}}$ をかけます。

$- \frac{(9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)) {(3 - 2 t)}^{2}}{{(3 - 2 t)}^{2} {(1 + \sin (3 t))}^{2}}$

ステップ 6.5.7

${(3 - 2 t)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.5.7.1

共通因数を約分します。

$- \frac{(9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)) {(3 - 2 t)}^{2}}{{(3 - 2 t)}^{2} {(1 + \sin (3 t))}^{2}}$

ステップ 6.5.7.2

式を書き換えます。

$- \frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)}{{(1 + \sin (3 t))}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例