微分積分例

$g (v) = - 6 {(5 v - 3)}^{- 4} + 5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}} - \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}$

ステップ 1

総和則では、 $- 6 {(5 v - 3)}^{- 4} + 5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}} - \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}$ の $v$ に関する積分は $\frac{d}{d v} [- 6 {(5 v - 3)}^{- 4}] + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$ です。

$\frac{d}{d v} [- 6 {(5 v - 3)}^{- 4}] + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d v} [- 6 {(5 v - 3)}^{- 4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$- 6$ は $v$ に対して定数なので、 $v$ に対する $- 6 {(5 v - 3)}^{- 4}$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d v} [{(5 v - 3)}^{- 4}]$ です。

$- 6 \frac{d}{d v} [{(5 v - 3)}^{- 4}] + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 2.2

$f (v) = v^{- 4}$ および $g (v) = 5 v - 3$ のとき、 $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ は $f' (g (v)) g' (v)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $5 v - 3$ とします。

$- 6 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 4}] \frac{d}{d v} [5 v - 3]) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 2.2.2

$n = - 4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 6 (- 4 {u_{1}}^{- 5} \frac{d}{d v} [5 v - 3]) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $5 v - 3$ で置き換えます。

$- 6 (- 4 {(5 v - 3)}^{- 5} \frac{d}{d v} [5 v - 3]) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 2.3

総和則では、 $5 v - 3$ の $v$ に関する積分は $\frac{d}{d v} [5 v] + \frac{d}{d v} [- 3]$ です。

$- 6 (- 4 {(5 v - 3)}^{- 5} (\frac{d}{d v} [5 v] + \frac{d}{d v} [- 3])) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 2.4

$5$ は $v$ に対して定数なので、 $v$ に対する $5 v$ の微分係数は $5 \frac{d}{d v} [v]$ です。

$- 6 (- 4 {(5 v - 3)}^{- 5} (5 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 3])) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ は $n v^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 6 (- 4 {(5 v - 3)}^{- 5} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 3])) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 2.6

$- 3$ は $v$ について定数なので、 $v$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$- 6 (- 4 {(5 v - 3)}^{- 5} (5 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 2.7

$5$ に $1$ をかけます。

$- 6 (- 4 {(5 v - 3)}^{- 5} (5 + 0)) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 2.8

$5$ と $0$ をたし算します。

$- 6 (- 4 {(5 v - 3)}^{- 5} \cdot 5) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 2.9

$5$ に $- 4$ をかけます。

$- 6 (- 20 {(5 v - 3)}^{- 5}) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 2.10

$- 20$ に $- 6$ をかけます。

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$5$ は $v$ に対して定数なので、 $v$ に対する $5 {\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5}}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d v} [{\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5}}]$ です。

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 \frac{d}{d v} [{\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 3.2

$f (v) = v^{\frac{6}{5}}$ および $g (v) = \ln (v^{3})$ のとき、 $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ は $f' (g (v)) g' (v)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\ln (v^{3})$ とします。

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{6}{5}}] \frac{d}{d v} [\ln (v^{3})]) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 3.2.2

$n = \frac{6}{5}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {u_{2}}^{\frac{6}{5} - 1} \frac{d}{d v} [\ln (v^{3})]) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\ln (v^{3})$ で置き換えます。

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5} - 1} \frac{d}{d v} [\ln (v^{3})]) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 3.3

$f (v) = \ln (v)$ および $g (v) = v^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ は $f' (g (v)) g' (v)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $v^{3}$ とします。

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5} - 1} (\frac{d}{d u_{3}} [\ln (u_{3})] \frac{d}{d v} [v^{3}])) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 3.3.2

$u_{3}$ に関する $\ln (u_{3})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{3}}$ です。

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5} - 1} (\frac{1}{u_{3}} \frac{d}{d v} [v^{3}])) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 3.3.3

$u_{3}$ のすべての発生を $v^{3}$ で置き換えます。

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5} - 1} (\frac{1}{v^{3}} \frac{d}{d v} [v^{3}])) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 3.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ は $n v^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5} - 1} (\frac{1}{v^{3}} (3 v^{2}))) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 3.5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} (\frac{1}{v^{3}} (3 v^{2}))) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 3.6

$- 1$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} (\frac{1}{v^{3}} (3 v^{2}))) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 3.7

公分母の分子をまとめます。

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{6 - 1 \cdot 5}{5}} (\frac{1}{v^{3}} (3 v^{2}))) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 3.8

分子を簡約します。

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ステップ 3.8.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{6 - 5}{5}} (\frac{1}{v^{3}} (3 v^{2}))) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 3.8.2

$6$ から $5$ を引きます。

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}} (\frac{1}{v^{3}} (3 v^{2}))) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 3.9

$3$ と $\frac{1}{v^{3}}$ をまとめます。

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}} (\frac{3}{v^{3}} v^{2})) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 3.10

$\frac{3}{v^{3}}$ と $v^{2}$ をまとめます。

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}} \frac{3 v^{2}}{v^{3}}) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 3.11

$v^{2}$ と $v^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.11.1

$v^{2}$ を $3 v^{2}$ で因数分解します。

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}} \frac{v^{2} \cdot 3}{v^{3}}) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 3.11.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.11.2.1

$v^{2}$ を $v^{3}$ で因数分解します。

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}} \frac{v^{2} \cdot 3}{v^{2} v}) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 3.11.2.2

共通因数を約分します。

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}} \frac{v^{2} \cdot 3}{v^{2} v}) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 3.11.2.3

式を書き換えます。

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}} \frac{3}{v}) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 3.12

$\frac{6}{5}$ と ${\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}$ をまとめます。

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{5} \cdot \frac{3}{v}) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 3.13

$\frac{6 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{5}$ に $\frac{3}{v}$ をかけます。

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 \frac{6 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}} \cdot 3}{5 v} + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 3.14

$3$ に $6$ をかけます。

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 \frac{18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{5 v} + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 3.15

$5$ と $\frac{18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{5 v}$ をまとめます。

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + \frac{5 (18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}})}{5 v} + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 3.16

$18$ に $5$ をかけます。

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + \frac{90 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{5 v} + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 3.17

$5$ を $90 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}$ で因数分解します。

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + \frac{5 (18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}})}{5 v} + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 3.18

共通因数を約分します。

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ステップ 3.18.1

$5$ を $5 v$ で因数分解します。

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + \frac{5 (18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}})}{5 (v)} + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 3.18.2

共通因数を約分します。

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + \frac{5 (18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}})}{5 v} + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 3.18.3

式を書き換えます。

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + \frac{18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{v} + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

ステップ 4

$- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}$ は $v$ について定数なので、 $v$ について $- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}$ の微分係数は $0$ です。

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + \frac{18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{v} + 0$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$120 \frac{1}{{(5 v - 3)}^{5}} + \frac{18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{v} + 0$

ステップ 5.2

項をまとめます。

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ステップ 5.2.1

$120$ と $\frac{1}{{(5 v - 3)}^{5}}$ をまとめます。

$\frac{120}{{(5 v - 3)}^{5}} + \frac{18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{v} + 0$

ステップ 5.2.2

$\frac{120}{{(5 v - 3)}^{5}} + \frac{18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{v}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{120}{{(5 v - 3)}^{5}} + \frac{18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{v}$

ステップ 5.3

項を並べ替えます。

$\frac{18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{v} + \frac{120}{{(5 v - 3)}^{5}}$

微分積分 例

微分積分例