微分積分例

$g (u) = \frac{3 u^{2}}{{(u^{2} + u)}^{3}}$

ステップ 1

$3$ は $u$ に対して定数なので、 $u$ に対する $\frac{3 u^{2}}{{(u^{2} + u)}^{3}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d u} [\frac{u^{2}}{{(u^{2} + u)}^{3}}]$ です。

$3 \frac{d}{d u} [\frac{u^{2}}{{(u^{2} + u)}^{3}}]$

ステップ 2

$f (u) = u^{2}$ および $g (u) = {(u^{2} + u)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ は $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$3 \frac{{(u^{2} + u)}^{3} \frac{d}{d u} [u^{2}] - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{({(u^{2} + u)}^{3})}^{2}}$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.1

${({(u^{2} + u)}^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 \frac{{(u^{2} + u)}^{3} \frac{d}{d u} [u^{2}] - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{(u^{2} + u)}^{3 \cdot 2}}$

ステップ 3.1.2

$3$ に $2$ をかけます。

$3 \frac{{(u^{2} + u)}^{3} \frac{d}{d u} [u^{2}] - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \frac{{(u^{2} + u)}^{3} (2 u) - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 3.3

$2$ を ${(u^{2} + u)}^{3}$ の左に移動させます。

$3 \frac{2 \cdot {(u^{2} + u)}^{3} u - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 4

$f (u) = u^{3}$ および $g (u) = u^{2} + u$ のとき、 $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ は $f' (g (u)) g' (u)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $u^{2} + u$ とします。

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - u^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d u} [u^{2} + u])}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - u^{2} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} + u])}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 4.3

$u_{1}$ のすべての発生を $u^{2} + u$ で置き換えます。

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - u^{2} (3 {(u^{2} + u)}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} + u])}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} + u])}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 5.2

総和則では、 $u^{2} + u$ の $u$ に関する積分は $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u]$ です。

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u]))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 5.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + \frac{d}{d u} [u]))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 5.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 5.5

$3$ と $\frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$ をまとめます。

$\frac{3 (2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (2 {(u^{2} + u)}^{3} u) + 3 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 6.2

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$3 {(u^{2} + u)}^{2} u$ を $3 \cdot 2 {(u^{2} + u)}^{3} u + 3 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))$ で因数分解します。

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ステップ 6.2.1.1

$3 {(u^{2} + u)}^{2} u$ を $3 \cdot 2 {(u^{2} + u)}^{3} u$ で因数分解します。

$\frac{3 {(u^{2} + u)}^{2} u (2 (u + 1) u) + 3 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 6.2.1.2

$3 {(u^{2} + u)}^{2} u$ を $3 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))$ で因数分解します。

$\frac{3 {(u^{2} + u)}^{2} u (2 (u + 1) u) + 3 {(u^{2} + u)}^{2} u (- 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 6.2.1.3

$3 {(u^{2} + u)}^{2} u$ を $3 {(u^{2} + u)}^{2} u (2 (u + 1) u) + 3 {(u^{2} + u)}^{2} u (- 3 u (2 u + 1))$ で因数分解します。

$\frac{3 {(u^{2} + u)}^{2} u (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 6.2.2

$u$ を $u^{2} + u$ で因数分解します。

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ステップ 6.2.2.1

$u$ を $u^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 {(u \cdot u + u)}^{2} u (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 6.2.2.2

$u$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 {(u \cdot u + u^{1})}^{2} u (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 6.2.2.3

$u$ を $u^{1}$ で因数分解します。

$\frac{3 {(u \cdot u + u \cdot 1)}^{2} u (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 6.2.2.4

$u$ を $u \cdot u + u \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{3 {(u (u + 1))}^{2} u (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 6.2.3

積の法則を $u (u + 1)$ に当てはめます。

$\frac{3 u^{2} {(u + 1)}^{2} u (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 6.2.4

指数をまとめます。

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ステップ 6.2.4.1

$u$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 (u^{1} u^{2}) {(u + 1)}^{2} (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 6.2.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 u^{1 + 2} {(u + 1)}^{2} (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 6.2.4.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 6.2.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} ((2 u + 2 \cdot 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 6.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} ((2 u + 2) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 6.2.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u \cdot u + 2 u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 6.2.5.4

指数を足して $u$ に $u$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.5.4.1

$u$ を移動させます。

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 (u \cdot u) + 2 u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 6.2.5.4.2

$u$ に $u$ をかけます。

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 6.2.5.5

分配則を当てはめます。

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 3 u (2 u) - 3 u \cdot 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 6.2.5.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 3 \cdot 2 u \cdot u - 3 u \cdot 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 6.2.5.7

$- 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 3 \cdot 2 u \cdot u - 3 u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 6.2.5.8

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.5.8.1

指数を足して $u$ に $u$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.5.8.1.1

$u$ を移動させます。

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 3 \cdot 2 (u \cdot u) - 3 u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 6.2.5.8.1.2

$u$ に $u$ をかけます。

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 3 \cdot 2 u^{2} - 3 u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 6.2.5.8.2

$- 3$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 6 u^{2} - 3 u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 6.2.6

$2 u^{2}$ から $6 u^{2}$ を引きます。

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (- 4 u^{2} + 2 u - 3 u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 6.2.7

$2 u$ から $3 u$ を引きます。

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (- 4 u^{2} - u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 6.2.8

$u$ を $- 4 u^{2} - u$ で因数分解します。

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ステップ 6.2.8.1

$u$ を $- 4 u^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (u (- 4 u) - u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 6.2.8.2

$u$ を $- u$ で因数分解します。

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (u (- 4 u) + u \cdot - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 6.2.8.3

$u$ を $u (- 4 u) + u \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (u (- 4 u - 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} u (- 4 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 6.2.9

指数をまとめます。

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ステップ 6.2.9.1

$u$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 (u^{1} u^{3}) {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 6.2.9.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 u^{1 + 3} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 6.2.9.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

ステップ 6.3

分母を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$u$ を $u^{2} + u$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1

$u$ を $u^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u \cdot u + u)}^{6}}$

ステップ 6.3.1.2

$u$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u \cdot u + u^{1})}^{6}}$

ステップ 6.3.1.3

$u$ を $u^{1}$ で因数分解します。

$\frac{3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u \cdot u + u \cdot 1)}^{6}}$

ステップ 6.3.1.4

$u$ を $u \cdot u + u \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u (u + 1))}^{6}}$

ステップ 6.3.2

積の法則を $u (u + 1)$ に当てはめます。

$\frac{3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{u^{6} {(u + 1)}^{6}}$

ステップ 6.4

$u^{4}$ と $u^{6}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.1

$u^{4}$ を $3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)$ で因数分解します。

$\frac{u^{4} (3 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1))}{u^{6} {(u + 1)}^{6}}$

ステップ 6.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

$u^{4}$ を $u^{6} {(u + 1)}^{6}$ で因数分解します。

$\frac{u^{4} (3 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1))}{u^{4} (u^{2} {(u + 1)}^{6})}$

ステップ 6.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{u^{4} (3 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1))}{u^{4} (u^{2} {(u + 1)}^{6})}$

ステップ 6.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{6}}$

ステップ 6.5

${(u + 1)}^{2}$ と ${(u + 1)}^{6}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.5.1

${(u + 1)}^{2}$ を $3 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)$ で因数分解します。

$\frac{{(u + 1)}^{2} (3 (- 4 u - 1))}{u^{2} {(u + 1)}^{6}}$

ステップ 6.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.5.2.1

${(u + 1)}^{2}$ を $u^{2} {(u + 1)}^{6}$ で因数分解します。

$\frac{{(u + 1)}^{2} (3 (- 4 u - 1))}{{(u + 1)}^{2} (u^{2} {(u + 1)}^{4})}$

ステップ 6.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{{(u + 1)}^{2} (3 (- 4 u - 1))}{{(u + 1)}^{2} (u^{2} {(u + 1)}^{4})}$

ステップ 6.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 (- 4 u - 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

ステップ 6.6

$- 1$ を $- 4 u$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (4 u) - 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

ステップ 6.7

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{3 (- (4 u) - 1 (1))}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

ステップ 6.8

$- 1$ を $- (4 u) - 1 (1)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (4 u + 1))}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

ステップ 6.9

$- (4 u + 1)$ を $- 1 (4 u + 1)$ に書き換えます。

$\frac{3 (- 1 (4 u + 1))}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

ステップ 6.10

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3 (4 u + 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

微分積分 例

微分積分例