微分積分例

$g (x) = \frac{\sin (x)}{x^{3} - 2 x}$

ステップ 1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x^{3} - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$

ステップ 2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{(x^{3} - 2 x) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x^{3} - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$\frac{(x^{3} - 2 x) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{3} - 2 x) \cos (x) - \sin (x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x])}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$

ステップ 3.3

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(x^{3} - 2 x) \cos (x) - \sin (x) (3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{3} - 2 x) \cos (x) - \sin (x) (3 x^{2} - 2 \cdot 1)}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$

ステップ 3.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x^{3} - 2 x) \cos (x) - \sin (x) (3 x^{2} - 2)}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{3} \cos (x) - 2 x \cos (x) - \sin (x) (3 x^{2} - 2)}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{3} \cos (x) - 2 x \cos (x) - \sin (x) (3 x^{2}) - \sin (x) \cdot - 2}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$

ステップ 4.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{3} \cos (x) - 2 x \cos (x) - 3 \sin (x) x^{2} - \sin (x) \cdot - 2}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$

ステップ 4.3.1.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{3} \cos (x) - 2 x \cos (x) - 3 \sin (x) x^{2} + 2 \sin (x)}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$

ステップ 4.3.2

$x^{3} \cos (x) - 2 x \cos (x) - 3 \sin (x) x^{2} + 2 \sin (x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x^{3} \cos (x) - 2 x \cos (x) - 3 x^{2} \sin (x) + 2 \sin (x)}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$

微分積分 例

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