微分積分例

$g (t) = {(4 t + 3 t)}^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$4 t$ と $3 t$ をたし算します。

$\frac{d}{d t} [{(7 t)}^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}]$

ステップ 1.2

式を簡約します。

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ステップ 1.2.1

積の法則を $7 t$ に当てはめます。

$\frac{d}{d t} [7^{2} t^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}]$

ステップ 1.2.2

$7$ を $2$ 乗します。

$\frac{d}{d t} [49 t^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}]$

ステップ 1.3

$49$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $49 t^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}$ の微分係数は $49 \frac{d}{d t} [t^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}]$ です。

$49 \frac{d}{d t} [t^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}]$

ステップ 2

$f (t) = t^{2}$ および $g (t) = {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$49 (t^{2} \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} - 9)}^{- 3}] + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

ステップ 3

$f (t) = t^{- 3}$ および $g (t) = 3 t^{2} - 9$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 t^{2} - 9$ とします。

$49 (t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d t} [3 t^{2} - 9]) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

ステップ 3.2

$n = - 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$49 (t^{2} (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} - 9]) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $3 t^{2} - 9$ で置き換えます。

$49 (t^{2} (- 3 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} - 9]) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $3 t^{2} - 9$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9]$ です。

$49 (t^{2} (- 3 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9])) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

ステップ 4.2

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$49 (t^{2} (- 3 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9])) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

ステップ 4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$49 (t^{2} (- 3 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 9])) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

ステップ 4.4

$2$ に $3$ をかけます。

$49 (t^{2} (- 3 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} (6 t + \frac{d}{d t} [- 9])) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

ステップ 4.5

$- 9$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$49 (t^{2} (- 3 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} (6 t + 0)) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

ステップ 4.6

式を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$6 t$ と $0$ をたし算します。

$49 (t^{2} (- 3 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} (6 t)) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

ステップ 4.6.2

$6$ に $- 3$ をかけます。

$49 (t^{2} (- 18 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} t) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

ステップ 5

指数を足して $t^{2}$ に $t$ を掛けます。

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ステップ 5.1

$t$ を移動させます。

$49 (t \cdot t^{2} (- 18 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4}) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

ステップ 5.2

$t$ に $t^{2}$ をかけます。

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ステップ 5.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$49 (t^{1} t^{2} (- 18 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4}) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

ステップ 5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$49 (t^{1 + 2} (- 18 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4}) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

ステップ 5.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$49 (t^{3} (- 18 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4}) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

ステップ 6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$49 (t^{3} (- 18 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4}) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} (2 t))$

ステップ 7

$2$ を ${(3 t^{2} - 9)}^{- 3}$ の左に移動させます。

$49 (t^{3} (- 18 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4}) + 2 \cdot {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} t)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$49 (t^{3} (- 18 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}) + 2 {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} t)$

ステップ 8.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$49 (t^{3} (- 18 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}) + 2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

ステップ 8.3

分配則を当てはめます。

$49 (t^{3} (- 18 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}})) + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

ステップ 8.4

項をまとめます。

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ステップ 8.4.1

$- 18$ と $\frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}$ をまとめます。

$49 (t^{3} \frac{- 18}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}) + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

ステップ 8.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$49 (t^{3} (- \frac{18}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}})) + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

ステップ 8.4.3

$t^{3}$ と $\frac{18}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}$ をまとめます。

$49 (- \frac{t^{3} \cdot 18}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}) + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

ステップ 8.4.4

$18$ を $t^{3}$ の左に移動させます。

$49 (- \frac{18 \cdot t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}) + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

ステップ 8.4.5

$- 1$ に $49$ をかけます。

$- 49 \frac{18 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

ステップ 8.4.6

$- 49$ と $\frac{18 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}$ をまとめます。

$\frac{- 49 (18 t^{3})}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

ステップ 8.4.7

$18$ に $- 49$ をかけます。

$\frac{- 882 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

ステップ 8.4.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

ステップ 8.4.9

$2$ と $\frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$ をまとめます。

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + 49 (\frac{2}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

ステップ 8.4.10

$\frac{2}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$ と $t$ をまとめます。

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + 49 \frac{2 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

ステップ 8.4.11

$49$ と $\frac{2 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$ をまとめます。

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + \frac{49 (2 t)}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

ステップ 8.4.12

$2$ に $49$ をかけます。

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

ステップ 8.5

各項を簡約します。

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ステップ 8.5.1

分母を簡約します。

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ステップ 8.5.1.1

$3$ を $3 t^{2} - 9$ で因数分解します。

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ステップ 8.5.1.1.1

$3$ を $3 t^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 (t^{2}) - 9)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

ステップ 8.5.1.1.2

$3$ を $- 9$ で因数分解します。

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 t^{2} + 3 \cdot - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

ステップ 8.5.1.1.3

$3$ を $3 t^{2} + 3 \cdot - 3$ で因数分解します。

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 (t^{2} - 3))}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

ステップ 8.5.1.2

積の法則を $3 (t^{2} - 3)$ に当てはめます。

$- \frac{882 t^{3}}{3^{4} {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

ステップ 8.5.1.3

$3$ を $4$ 乗します。

$- \frac{882 t^{3}}{81 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

ステップ 8.5.2

$882$ と $81$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.5.2.1

$9$ を $882 t^{3}$ で因数分解します。

$- \frac{9 (98 t^{3})}{81 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

ステップ 8.5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.5.2.2.1

$9$ を $81 {(t^{2} - 3)}^{4}$ で因数分解します。

$- \frac{9 (98 t^{3})}{9 (9 {(t^{2} - 3)}^{4})} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

ステップ 8.5.2.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{9 (98 t^{3})}{9 (9 {(t^{2} - 3)}^{4})} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

ステップ 8.5.2.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{98 t^{3}}{9 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

ステップ 8.5.3

分母を簡約します。

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ステップ 8.5.3.1

$3$ を $3 t^{2} - 9$ で因数分解します。

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ステップ 8.5.3.1.1

$3$ を $3 t^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{98 t^{3}}{9 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 (t^{2}) - 9)}^{3}}$

ステップ 8.5.3.1.2

$3$ を $- 9$ で因数分解します。

$- \frac{98 t^{3}}{9 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} + 3 \cdot - 3)}^{3}}$

ステップ 8.5.3.1.3

$3$ を $3 t^{2} + 3 \cdot - 3$ で因数分解します。

$- \frac{98 t^{3}}{9 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 (t^{2} - 3))}^{3}}$

ステップ 8.5.3.2

積の法則を $3 (t^{2} - 3)$ に当てはめます。

$- \frac{98 t^{3}}{9 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{3^{3} {(t^{2} - 3)}^{3}}$

ステップ 8.5.3.3

$3$ を $3$ 乗します。

$- \frac{98 t^{3}}{9 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{27 {(t^{2} - 3)}^{3}}$

微分積分 例

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