微分積分例

$f (x) = \ln (5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x))$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} \frac{d}{d x} [5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)]$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)]$ です。

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (\frac{d}{d x} [5 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

ステップ 2.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 \cos (2 x)$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ です。

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (5 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

ステップ 3

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (5 (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

ステップ 3.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (5 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (5 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

ステップ 4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 5 (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

ステップ 4.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 5 \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

ステップ 4.3

$2$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

ステップ 4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

ステップ 4.5

$- 10$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

ステップ 5

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \tan (3 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $\tan (3 x)$ とします。

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + \frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (3 x)])$

ステップ 5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ は $n {u_{3}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 2 u_{3} \frac{d}{d x} [\tan (3 x)])$

ステップ 5.3

$u_{3}$ のすべての発生を $\tan (3 x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 2 \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)])$

ステップ 6

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{4}$ を $3 x$ とします。

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 2 \tan (3 x) (\frac{d}{d u_{4}} [\tan (u_{4})] \frac{d}{d x} [3 x]))$

ステップ 6.2

$u_{4}$ に関する $\tan (u_{4})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{4})$ です。

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 2 \tan (3 x) (\sec^{2} (u_{4}) \frac{d}{d x} [3 x]))$

ステップ 6.3

$u_{4}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 2 \tan (3 x) (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]))$

ステップ 7

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 2 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 7.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) \cdot 1)$

ステップ 7.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x))$

ステップ 7.4.2

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x))$ の因数を並べ替えます。

$(- 10 \sin (2 x) + 6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x)) \frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)}$

微分積分 例

微分積分例