微分積分例

$f (x) = \ln (\arcsin (\sin (\sec (x))))$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \arcsin (\sin (\sec (x)))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\arcsin (\sin (\sec (x)))$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\arcsin (\sin (\sec (x)))]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\arcsin (\sin (\sec (x)))]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\arcsin (\sin (\sec (x)))$ で置き換えます。

$\frac{1}{\arcsin (\sin (\sec (x)))} \frac{d}{d x} [\arcsin (\sin (\sec (x)))]$

ステップ 2

$f (x) = \arcsin (x)$ および $g (x) = \sin (\sec (x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\sin (\sec (x))$ とします。

$\frac{1}{\arcsin (\sin (\sec (x)))} (\frac{d}{d u_{2}} [\arcsin (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (\sec (x))])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\arcsin (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{2}}^{2}}}$ です。

$\frac{1}{\arcsin (\sin (\sec (x)))} (\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{2}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (\sec (x))])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\sin (\sec (x))$ で置き換えます。

$\frac{1}{\arcsin (\sin (\sec (x)))} (\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))}} \frac{d}{d x} [\sin (\sec (x))])$

ステップ 3

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))}}$ に $\frac{1}{\arcsin (\sin (\sec (x)))}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))} \frac{d}{d x} [\sin (\sec (x))]$

ステップ 4

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $\sec (x)$ とします。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))} (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

ステップ 4.2

$u_{3}$ に関する $\sin (u_{3})$ の微分係数は $\cos (u_{3})$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))} (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

ステップ 4.3

$u_{3}$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))} (\cos (\sec (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

ステップ 5

$\cos (\sec (x))$ と $\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$ をまとめます。

$\frac{\cos (\sec (x))}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 6

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$\frac{\cos (\sec (x))}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))} (\sec (x) \tan (x))$

ステップ 7

分数をまとめます。

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ステップ 7.1

$\sec (x)$ と $\frac{\cos (\sec (x))}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$ をまとめます。

$\frac{\sec (x) \cos (\sec (x))}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))} \tan (x)$

ステップ 7.2

$\frac{\sec (x) \cos (\sec (x))}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$ と $\tan (x)$ をまとめます。

$\frac{\sec (x) \cos (\sec (x)) \tan (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.1.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} \cos (\sec (x)) \tan (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

ステップ 8.1.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ と $\cos (\sec (x))$ をまとめます。

$\frac{\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)} \tan (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

ステップ 8.1.3

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

ステップ 8.1.4

$\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

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ステップ 8.1.4.1

$\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)}$ に $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ をかけます。

$\frac{\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

ステップ 8.1.4.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

ステップ 8.1.4.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

ステップ 8.1.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

ステップ 8.1.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

ステップ 8.1.5

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

ステップ 8.1.6

分数を分解します。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)}}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

ステップ 8.1.7

$\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)}$ を積として書き換えます。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\cos (\sec (x)) \frac{1}{\cos (x)})}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

ステップ 8.1.8

$\cos (\sec (x))$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{\cos (\sec (x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)})}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

ステップ 8.1.9

簡約します。

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ステップ 8.1.9.1

$\cos (\sec (x))$ を $1$ で割ります。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\cos (\sec (x)) \frac{1}{\cos (x)})}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

ステップ 8.1.9.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\cos (\sec (x)) \sec (x))}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

ステップ 8.1.10

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{\tan (x) \cos (\sec (x)) \sec (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

ステップ 8.2

項を並べ替えます。

$\frac{\cos (\sec (x)) \sec (x) \tan (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

微分積分 例

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