微分積分例

$f (x) = \ln (\ln (\sec (2 x)))$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \ln (\sec (2 x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\ln (\sec (2 x))$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (\sec (2 x))]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (\sec (2 x))]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\ln (\sec (2 x))$ で置き換えます。

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} \frac{d}{d x} [\ln (\sec (2 x))]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \sec (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\sec (2 x)$ とします。

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\sec (2 x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{1}{\sec (2 x)} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

ステップ 3

正弦と余弦に関して $\sec (2 x)$ を書き換えます。

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{1}{\frac{1}{\cos (2 x)}} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

ステップ 4

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (2 x)}$ で割ります。

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (1 \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

ステップ 5

分数をまとめます。

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ステップ 5.1

$\cos (2 x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

ステップ 5.2

$\cos (2 x)$ と $\frac{1}{\ln (\sec (2 x))}$ をまとめます。

$\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

ステップ 6

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $2 x$ とします。

$\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 6.2

$u_{3}$ に関する $\sec (u_{3})$ の微分係数は $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ です。

$\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 6.3

$u_{3}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 7

微分します。

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ステップ 7.1

$\sec (2 x)$ と $\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$ をまとめます。

$\frac{\sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 7.2

$\tan (2 x)$ と $\frac{\sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$ をまとめます。

$\frac{\tan (2 x) (\sec (2 x) \cos (2 x))}{\ln (\sec (2 x))} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 7.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7.4

$2$ と $\frac{\tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$ をまとめます。

$\frac{2 (\tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x))}{\ln (\sec (2 x))} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} \cdot 1$

ステップ 7.6

$\frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

ステップ 8

分子を簡約します。

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ステップ 8.1

正弦と余弦に関して $\tan (2 x)$ を書き換えます。

$\frac{2 \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

ステップ 8.2

$2$ と $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ をまとめます。

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

ステップ 8.3

正弦と余弦に関して $\sec (2 x)$ を書き換えます。

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

ステップ 8.4

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$ を掛けます。

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ステップ 8.4.1

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ に $\frac{1}{\cos (2 x)}$ をかけます。

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

ステップ 8.4.2

$\cos (2 x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos^{1} (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

ステップ 8.4.3

$\cos (2 x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

ステップ 8.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{{\cos (2 x)}^{1 + 1}} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

ステップ 8.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

ステップ 8.5

$\cos (2 x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.5.1

$\cos (2 x)$ を $\cos^{2} (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

ステップ 8.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

ステップ 8.5.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\ln (\sec (2 x))}$

ステップ 8.6

分数を分解します。

$\frac{\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\ln (\sec (2 x))}$

ステップ 8.7

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ を $\tan (2 x)$ に変換します。

$\frac{\frac{2}{1} \tan (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

ステップ 8.8

$2$ を $1$ で割ります。

$\frac{2 \tan (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

微分積分 例

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