微分積分例

$f (x) = \ln (\sec^{4} (x) \cdot \tan^{2} (x))$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)]$

ステップ 2

$f (x) = \sec^{4} (x)$ および $g (x) = \tan^{2} (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (\sec^{4} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)])$

ステップ 3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\tan (x)$ とします。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (\sec^{4} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)])$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (\sec^{4} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\tan (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (\sec^{4} (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)])$

ステップ 4

$2$ を $\sec^{4} (x)$ の左に移動させます。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \cdot \sec^{4} (x) \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)])$

ステップ 5

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{4} (x) \tan (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)])$

ステップ 6

指数を足して $\sec^{4} (x)$ に $\sec^{2} (x)$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$\sec^{2} (x)$ を移動させます。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 (\sec^{2} (x) \sec^{4} (x)) \tan (x) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)])$

ステップ 6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 {\sec (x)}^{2 + 4} \tan (x) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)])$

ステップ 6.3

$2$ と $4$ をたし算します。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)])$

ステップ 7

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $\sec (x)$ とします。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

ステップ 7.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ は $n {u_{3}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

ステップ 7.3

$u_{3}$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (4 \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

ステップ 8

$4$ を $\tan^{2} (x)$ の左に移動させます。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + 4 \cdot \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

ステップ 9

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + 4 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)))$

ステップ 10

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + 4 (\tan^{1} (x) \tan^{2} (x)) \sec^{3} (x) \sec (x))$

ステップ 11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + 4 {\tan (x)}^{1 + 2} \sec^{3} (x) \sec (x))$

ステップ 12

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + 4 \tan^{3} (x) \sec^{3} (x) \sec (x))$

ステップ 13

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + 4 \tan^{3} (x) (\sec^{1} (x) \sec^{3} (x)))$

ステップ 14

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + 4 \tan^{3} (x) {\sec (x)}^{1 + 3})$

ステップ 15

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + 4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

ステップ 16

簡約します。

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ステップ 16.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x)) + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

ステップ 16.2

項をまとめます。

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ステップ 16.2.1

$2$ と $\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)}$ をまとめます。

$\frac{2}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (\sec^{6} (x) \tan (x)) + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

ステップ 16.2.2

$\sec^{6} (x)$ と $\frac{2}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)}$ をまとめます。

$\frac{\sec^{6} (x) \cdot 2}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} \tan (x) + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

ステップ 16.2.3

$\frac{\sec^{6} (x) \cdot 2}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)}$ と $\tan (x)$ をまとめます。

$\frac{\sec^{6} (x) \cdot 2 \tan (x)}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

ステップ 16.2.4

$2$ を $\sec^{6} (x)$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot \sec^{6} (x) \tan (x)}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

ステップ 16.2.5

$\sec^{6} (x)$ と $\sec^{4} (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 16.2.5.1

$\sec^{4} (x)$ を $2 \sec^{6} (x) \tan (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sec^{4} (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

ステップ 16.2.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 16.2.5.2.1

$\sec^{4} (x)$ を $\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sec^{4} (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))}{\sec^{4} (x) (\tan^{2} (x))} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

ステップ 16.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sec^{4} (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

ステップ 16.2.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\tan^{2} (x)} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

ステップ 16.2.6

$\tan (x)$ と $\tan^{2} (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 16.2.6.1

$\tan (x)$ を $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ で因数分解します。

$\frac{\tan (x) (2 \sec^{2} (x))}{\tan^{2} (x)} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

ステップ 16.2.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 16.2.6.2.1

$\tan (x)$ を $\tan^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\tan (x) (2 \sec^{2} (x))}{\tan (x) \tan (x)} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

ステップ 16.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\tan (x) (2 \sec^{2} (x))}{\tan (x) \tan (x)} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

ステップ 16.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

ステップ 16.2.7

$4$ と $\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)}$ をまとめます。

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{4}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (\tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

ステップ 16.2.8

$\tan^{3} (x)$ と $\frac{4}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)}$ をまとめます。

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{\tan^{3} (x) \cdot 4}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} \sec^{4} (x)$

ステップ 16.2.9

$\frac{\tan^{3} (x) \cdot 4}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)}$ と $\sec^{4} (x)$ をまとめます。

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{\tan^{3} (x) \cdot 4 \sec^{4} (x)}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)}$

ステップ 16.2.10

$4$ を $\tan^{3} (x)$ の左に移動させます。

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{4 \cdot \tan^{3} (x) \sec^{4} (x)}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)}$

ステップ 16.2.11

$\tan^{3} (x)$ と $\tan^{2} (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 16.2.11.1

$\tan^{2} (x)$ を $4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x)$ で因数分解します。

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{\tan^{2} (x) (4 \tan (x) \sec^{4} (x))}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)}$

ステップ 16.2.11.2

共通因数を約分します。

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ステップ 16.2.11.2.1

$\tan^{2} (x)$ を $\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{\tan^{2} (x) (4 \tan (x) \sec^{4} (x))}{\tan^{2} (x) \sec^{4} (x)}$

ステップ 16.2.11.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{\tan^{2} (x) (4 \tan (x) \sec^{4} (x))}{\tan^{2} (x) \sec^{4} (x)}$

ステップ 16.2.11.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{4 \tan (x) \sec^{4} (x)}{\sec^{4} (x)}$

ステップ 16.2.12

$\sec^{4} (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 16.2.12.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{4 \tan (x) \sec^{4} (x)}{\sec^{4} (x)}$

ステップ 16.2.12.2

$4 \tan (x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + 4 \tan (x)$

微分積分 例

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