微分積分例

$f (x) = \ln (e^{x^{3}}) + 6 \ln (x - 1)$

ステップ 1

総和則では、 $\ln (e^{x^{3}}) + 6 \ln (x - 1)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\ln (e^{x^{3}})] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\ln (e^{x^{3}})] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\ln (e^{x^{3}})]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

対数の法則を利用して指数の外に $x^{3}$ を移動します。

$\frac{d}{d x} [x^{3} \ln (e)] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$

ステップ 2.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3} \cdot 1] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$

ステップ 2.3

$x^{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$

ステップ 2.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 \ln (x - 1)$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]$ です。

$3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]$

ステップ 3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$3 x^{2} + 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 1])$

ステップ 3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$3 x^{2} + 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$3 x^{2} + 6 (\frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

ステップ 3.3

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$3 x^{2} + 6 (\frac{1}{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 6 (\frac{1}{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

ステップ 3.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} + 6 (\frac{1}{x - 1} (1 + 0))$

ステップ 3.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2} + 6 (\frac{1}{x - 1} \cdot 1)$

ステップ 3.7

$\frac{1}{x - 1}$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} + 6 \frac{1}{x - 1}$

ステップ 3.8

$6$ と $\frac{1}{x - 1}$ をまとめます。

$3 x^{2} + \frac{6}{x - 1}$

ステップ 4

項をまとめます。

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ステップ 4.1

$3 x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 1}{x - 1}$ を掛けます。

$\frac{3 x^{2} (x - 1)}{x - 1} + \frac{6}{x - 1}$

ステップ 4.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 x^{2} (x - 1) + 6}{x - 1}$

微分積分 例

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