微分積分例

$f (x) = \ln (\frac{x^{2}}{3 x - 1})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \frac{x^{2}}{3 x - 1}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x^{2}}{3 x - 1}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 1}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 1}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x^{2}}{3 x - 1}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{3 x - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 1}]$

ステップ 2

分数の逆数を掛け、 $\frac{x^{2}}{3 x - 1}$ で割ります。

$1 \frac{3 x - 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 1}]$

ステップ 3

$\frac{3 x - 1}{x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 1}]$

ステップ 4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 3 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{(3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{(3 x - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2

$2$ を $3 x - 1$ の左に移動させます。

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 \cdot (3 x - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3

総和則では、 $3 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.4

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.6

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.7

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 + 0)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.8

分数をまとめます。

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ステップ 5.8.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} \cdot 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.8.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 (3 x - 1) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.8.3

$\frac{3 x - 1}{x^{2}}$ に $\frac{2 (3 x - 1) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{(3 x - 1) (2 (3 x - 1) x - 3 x^{2})}{x^{2} {(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 6

共通因数を約分します。

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ステップ 6.1

$3 x - 1$ を $x^{2} {(3 x - 1)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(3 x - 1) (2 (3 x - 1) x - 3 x^{2})}{(3 x - 1) (x^{2} (3 x - 1))}$

ステップ 6.2

共通因数を約分します。

$\frac{(3 x - 1) (2 (3 x - 1) x - 3 x^{2})}{(3 x - 1) (x^{2} (3 x - 1))}$

ステップ 6.3

式を書き換えます。

$\frac{2 (3 x - 1) x - 3 x^{2}}{x^{2} (3 x - 1)}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) x - 3 x^{2}}{x^{2} (3 x - 1)}$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (3 x) x + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{x^{2} (3 x - 1)}$

ステップ 7.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (3 x) x + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1}$

ステップ 7.4

分子を簡約します。

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ステップ 7.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.4.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 7.4.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (3 (x \cdot x)) + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1}$

ステップ 7.4.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1}$

ステップ 7.4.1.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1}$

ステップ 7.4.1.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{6 x^{2} - 2 x - 3 x^{2}}{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1}$

ステップ 7.4.2

$6 x^{2}$ から $3 x^{2}$ を引きます。

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1}$

ステップ 7.5

項をまとめます。

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ステップ 7.5.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 7.5.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{x \cdot x^{2} \cdot 3 + x^{2} \cdot - 1}$

ステップ 7.5.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 7.5.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{x^{1} x^{2} \cdot 3 + x^{2} \cdot - 1}$

ステップ 7.5.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{x^{1 + 2} \cdot 3 + x^{2} \cdot - 1}$

ステップ 7.5.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{x^{3} \cdot 3 + x^{2} \cdot - 1}$

ステップ 7.5.2

$3$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{3 \cdot x^{3} + x^{2} \cdot - 1}$

ステップ 7.5.3

$- 1$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{3 x^{3} - 1 \cdot x^{2}}$

ステップ 7.5.4

$- 1 x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{3 x^{3} - x^{2}}$

ステップ 7.6

$x$ を $3 x^{2} - 2 x$ で因数分解します。

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ステップ 7.6.1

$x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x (3 x) - 2 x}{3 x^{3} - x^{2}}$

ステップ 7.6.2

$x$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{x (3 x) + x \cdot - 2}{3 x^{3} - x^{2}}$

ステップ 7.6.3

$x$ を $x (3 x) + x \cdot - 2$ で因数分解します。

$\frac{x (3 x - 2)}{3 x^{3} - x^{2}}$

ステップ 7.7

$x^{2}$ を $3 x^{3} - x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 7.7.1

$x^{2}$ を $3 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x (3 x - 2)}{x^{2} (3 x) - x^{2}}$

ステップ 7.7.2

$x^{2}$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x (3 x - 2)}{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1}$

ステップ 7.7.3

$x^{2}$ を $x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{x (3 x - 2)}{x^{2} (3 x - 1)}$

ステップ 7.8

共通因数を約分します。

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ステップ 7.8.1

$x$ を $x^{2} (3 x - 1)$ で因数分解します。

$\frac{x (3 x - 2)}{x (x (3 x - 1))}$

ステップ 7.8.2

共通因数を約分します。

$\frac{x (3 x - 2)}{x (x (3 x - 1))}$

ステップ 7.8.3

式を書き換えます。

$\frac{3 x - 2}{x (3 x - 1)}$

微分積分 例

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