微分積分例

$f (x) = \cos (\tan (\sqrt{x}))$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\cos (\tan (x^{\frac{1}{2}}))]$

ステップ 2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \tan (x^{\frac{1}{2}})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\tan (x^{\frac{1}{2}})$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (x^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 2.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [\tan (x^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\tan (x^{\frac{1}{2}})$ で置き換えます。

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} [\tan (x^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 3

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ とします。

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 3.2

$u_{2}$ に関する $\tan (u_{2})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{2})$ です。

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) (\sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 4

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 6

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 7

公分母の分子をまとめます。

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 8

分子を簡約します。

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ステップ 8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 8.2

$1$ から $2$ を引きます。

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 9

分数の前に負数を移動させます。

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 10

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 11

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))$ をまとめます。

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}} \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2} \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 12

$\sec^{2} (x^{\frac{1}{2}})$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2}$ をまとめます。

$- \frac{\sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (x^{- \frac{1}{2}} \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})))}{2}$

ステップ 13

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{\sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

分子を簡約します。

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ステップ 14.1.1

正弦と余弦に関して $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ を書き換えます。

$- \frac{{(\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})})}^{2} \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.1.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})}$ に当てはめます。

$- \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}})} \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}})} \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.2

$\frac{1}{\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}})}$ と $\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))$ をまとめます。

$- \frac{\frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}})}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$- (\frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}})} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 14.4

まとめる。

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \cdot 1}{\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (2 x^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 14.5

$\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))$ に $1$ をかけます。

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (2 x^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 14.6

$2$ を $\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}})$ の左に移動させます。

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2 \cdot \cos^{2} (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.7

$\cos (x^{\frac{1}{2}})$ を $\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2 (\cos (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})) x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.8

分数を分解します。

$- (\frac{1}{2 (\cos (x^{\frac{1}{2}})) x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{\cos (x^{\frac{1}{2}})})$

ステップ 14.9

$\frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{\cos (x^{\frac{1}{2}})}$ を積として書き換えます。

$- (\frac{1}{2 (\cos (x^{\frac{1}{2}})) x^{\frac{1}{2}}} (\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})}))$

ステップ 14.10

$\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$- (\frac{1}{2 (\cos (x^{\frac{1}{2}})) x^{\frac{1}{2}}} (\frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})}))$

ステップ 14.11

簡約します。

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ステップ 14.11.1

$\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))$ を $1$ で割ります。

$- (\frac{1}{2 (\cos (x^{\frac{1}{2}})) x^{\frac{1}{2}}} (\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})}))$

ステップ 14.11.2

$\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})}$ を $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ に変換します。

$- (\frac{1}{2 (\cos (x^{\frac{1}{2}})) x^{\frac{1}{2}}} (\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}})))$

ステップ 14.12

分数を分解します。

$- (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})} (\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}})))$

ステップ 14.13

$\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})}$ を $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ に変換します。

$- (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \sec (x^{\frac{1}{2}}) (\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}})))$

ステップ 14.14

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ をまとめます。

$- (\frac{\sec (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} (\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}})))$

ステップ 14.15

$\frac{\sec (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} (\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}}))$ を掛けます。

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ステップ 14.15.1

$\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))$ と $\frac{\sec (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$- (\frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} \sec (x^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 14.15.2

$\frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ をまとめます。

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}}) \sec (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.15.3

$\sec (x^{\frac{1}{2}})$ を $1$ 乗します。

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) (\sec^{1} (x^{\frac{1}{2}}) \sec (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.15.4

$\sec (x^{\frac{1}{2}})$ を $1$ 乗します。

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) (\sec^{1} (x^{\frac{1}{2}}) \sec^{1} (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.15.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) {\sec (x^{\frac{1}{2}})}^{1 + 1}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.15.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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