微分積分例

$f (x) = \ln (\ln ({(5 x^{- 3})}^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 1

くくりだして簡約します。

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ステップ 1.1

$5$ を $5 x^{- 3}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\ln (\ln ({(5 (x^{- 3}))}^{\frac{1}{2}}))]$

ステップ 1.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.2.1

積の法則を $5 (x^{- 3})$ に当てはめます。

$\frac{d}{d x} [\ln (\ln (5^{\frac{1}{2}} {(x^{- 3})}^{\frac{1}{2}}))]$

ステップ 1.2.2

${(x^{- 3})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [\ln (\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- 3 (\frac{1}{2})}))]$

ステップ 1.2.2.2

$- 3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\ln (\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 3}{2}}))]$

ステップ 1.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d}{d x} [\ln (\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}))]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})]$

ステップ 2.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})$ で置き換えます。

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ステップ 2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- 3 (\frac{1}{2})})} \frac{d}{d x} [\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})]$

ステップ 2.3.2

$- 3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 3}{2}})} \frac{d}{d x} [\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})]$

ステップ 2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})]$

ステップ 3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}$ とします。

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}])$

ステップ 3.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (\frac{1}{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ を利用して $x^{- \frac{3}{2}}$ を分子に移動させます。

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (\frac{x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}])$

ステップ 4.2

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})}$ をかけます。

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}]$

ステップ 4.3

$5^{\frac{1}{2}}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}$ の微分係数は $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$ です。

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}])$

ステップ 4.4

項を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$5^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})}$ をまとめます。

$\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$

ステップ 4.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$

ステップ 4.4.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$

ステップ 4.5

$n = - \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

ステップ 5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 6

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 8

分子を簡約します。

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ステップ 8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

ステップ 8.2

$- 3$ から $2$ を引きます。

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

ステップ 9

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

ステップ 10

$x^{- \frac{5}{2}}$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

ステップ 11

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})}$ に $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ をかけます。

$- \frac{x^{\frac{3}{2}} (x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3)}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

ステップ 12

指数を足して $x^{\frac{3}{2}}$ に $x^{- \frac{5}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 12.1

$x^{- \frac{5}{2}}$ を移動させます。

$- \frac{x^{- \frac{5}{2}} x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

ステップ 12.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{x^{- \frac{5}{2} + \frac{3}{2}} \cdot 3}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

ステップ 12.3

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{x^{\frac{- 5 + 3}{2}} \cdot 3}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

ステップ 12.4

$- 5$ と $3$ をたし算します。

$- \frac{x^{\frac{- 2}{2}} \cdot 3}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

ステップ 12.5

$- 2$ を $2$ で割ります。

$- \frac{x^{- 1} \cdot 3}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

ステップ 13

$3$ を $x^{- 1}$ の左に移動させます。

$- \frac{3 \cdot x^{- 1}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

ステップ 14

$2$ を $\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})$ の左に移動させます。

$- \frac{3 x^{- 1}}{2 \cdot \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})}$

ステップ 15

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 1}$ を分母に移動させます。

$- \frac{3}{2 \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) x}$

ステップ 16

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})$ を簡約します。

$- \frac{3}{\ln ({(5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})}^{2}) x}$

ステップ 17

簡約します。

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ステップ 17.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{3}{\ln ({(5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}})}^{2}) x}$

ステップ 17.2

積の法則を $5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ に当てはめます。

$- \frac{3}{\ln ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}})}^{2}) x}$

ステップ 17.3

積の法則を $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ に当てはめます。

$- \frac{3}{\ln ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}) x}$

ステップ 17.4

項をまとめます。

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ステップ 17.4.1

${(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 17.4.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{3}{\ln (5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}) x}$

ステップ 17.4.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 17.4.1.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{3}{\ln (5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}) x}$

ステップ 17.4.1.2.2

式を書き換えます。

$- \frac{3}{\ln (5^{1} \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}) x}$

ステップ 17.4.2

指数を求めます。

$- \frac{3}{\ln (5 \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}) x}$

ステップ 17.4.3

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{3}{\ln (5 \frac{1}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}) x}$

ステップ 17.4.4

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 17.4.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{3}{\ln (5 \frac{1}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}) x}$

ステップ 17.4.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 17.4.4.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{3}{\ln (5 \frac{1}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}) x}$

ステップ 17.4.4.2.2

式を書き換えます。

$- \frac{3}{\ln (5 \frac{1}{x^{3}}) x}$

ステップ 17.4.5

$5$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$- \frac{3}{\ln (\frac{5}{x^{3}}) x}$

ステップ 17.5

$- \frac{3}{\ln (\frac{5}{x^{3}}) x}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{3}{x \ln (\frac{5}{x^{3}})}$

微分積分 例

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