微分積分例

$f (x) = \ln (\frac{e^{x}}{e^{x} + 1})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

ステップ 2

分数の逆数を掛け、 $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ で割ります。

$1 \frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

ステップ 3

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

ステップ 4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = e^{x} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 5

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 6

総和則では、 $e^{x} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 7

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 8

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 8.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (e^{x} + 0)}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 8.2

$e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 9

指数を足して $e^{x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

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ステップ 9.1

$e^{x}$ を移動させます。

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 9.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x + x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 9.3

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 10

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}}$ に $\frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{(e^{x} + 1) ((e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x})}{e^{x} {(e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 11

共通因数を約分します。

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ステップ 11.1

$e^{x} + 1$ を $e^{x} {(e^{x} + 1)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(e^{x} + 1) ((e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x})}{(e^{x} + 1) (e^{x} (e^{x} + 1))}$

ステップ 11.2

共通因数を約分します。

$\frac{(e^{x} + 1) ((e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x})}{(e^{x} + 1) (e^{x} (e^{x} + 1))}$

ステップ 11.3

式を書き換えます。

$\frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{x} e^{x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

ステップ 12.2

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{x} e^{x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

ステップ 12.3

分子を簡約します。

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ステップ 12.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 12.3.1.1

指数を足して $e^{x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

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ステップ 12.3.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{e^{x + x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

ステップ 12.3.1.1.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{e^{2 x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

ステップ 12.3.1.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{2 x} + e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

ステップ 12.3.2

$e^{2 x} + e^{x} - e^{2 x}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 12.3.2.1

$e^{2 x}$ から $e^{2 x}$ を引きます。

$\frac{0 + e^{x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

ステップ 12.3.2.2

$0$ と $e^{x}$ をたし算します。

$\frac{e^{x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

ステップ 12.4

項をまとめます。

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ステップ 12.4.1

指数を足して $e^{x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

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ステップ 12.4.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{e^{x}}{e^{x + x} + e^{x} \cdot 1}$

ステップ 12.4.1.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{e^{x}}{e^{2 x} + e^{x} \cdot 1}$

ステップ 12.4.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{x}}{e^{2 x} + e^{x}}$

ステップ 12.5

分母を簡約します。

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ステップ 12.5.1

$e^{2 x}$ を ${(e^{x})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{e^{x}}{{(e^{x})}^{2} + e^{x}}$

ステップ 12.5.2

$u = e^{x}$ とします。 $u$ を $e^{x}$ に代入します。

$\frac{e^{x}}{u^{2} + u}$

ステップ 12.5.3

$u$ を $u^{2} + u$ で因数分解します。

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ステップ 12.5.3.1

$u$ を $u^{2}$ で因数分解します。

$\frac{e^{x}}{u \cdot u + u}$

ステップ 12.5.3.2

$u$ を $1$ 乗します。

$\frac{e^{x}}{u \cdot u + u^{1}}$

ステップ 12.5.3.3

$u$ を $u^{1}$ で因数分解します。

$\frac{e^{x}}{u \cdot u + u \cdot 1}$

ステップ 12.5.3.4

$u$ を $u \cdot u + u \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{e^{x}}{u (u + 1)}$

ステップ 12.5.4

$u$ のすべての発生を $e^{x}$ で置き換えます。

$\frac{e^{x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

ステップ 12.6

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

ステップ 12.6.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{x} + 1}$

微分積分 例

微分積分例