微分積分例

$f (x) = \arctan (\sqrt{x^{3}})$

ステップ 1

$\frac{d}{d x} [\arctan (\sqrt{x^{3}})]$ を $\frac{d}{d x} [\arctan (x \sqrt{x})]$ に書き換えます。

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ステップ 1.1

$x^{2}$ を因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\arctan (\sqrt{x^{2} x})]$

ステップ 1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{d}{d x} [\arctan (x \sqrt{x})]$

ステップ 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\arctan (x \cdot x^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 3

指数を足して $x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

$x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 3.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{1} x^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{1 + \frac{1}{2}})]$

ステップ 3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})]$

ステップ 3.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{\frac{2 + 1}{2}})]$

ステップ 3.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{\frac{3}{2}})]$

ステップ 4

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{\frac{3}{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 4.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 4.3

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{3}{2}}$ で置き換えます。

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ステップ 4.3.1

$x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 4.3.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{1 + {(x^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 4.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{1 + {(x^{1 + \frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 4.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 4.3.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{2 + 1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 4.3.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{3}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 5

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 5.1

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{1 + x^{\frac{3}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 5.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{1 + x^{\frac{3}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 5.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 5.2

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

ステップ 6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 9

分子を簡約します。

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ステップ 9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

ステップ 9.2

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 10

$\frac{3}{2}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{1 + x^{3}} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 11

$\frac{1}{1 + x^{3}}$ に $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ をかけます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{(1 + x^{3}) \cdot 2}$

ステップ 12

$2$ を $1 + x^{3}$ の左に移動させます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot (1 + x^{3})}$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 1 + 2 x^{3}}$

ステップ 13.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 + 2 x^{3}}$

ステップ 13.3

項を並べ替えます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{3} + 2}$

微分積分 例

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