微分積分例

$f (x) = \arctan (\frac{x - 1}{x + 1})$

ステップ 1

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x - 1}{x + 1}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x - 1}{x + 1}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

ステップ 2

$f (x) = x - 1$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4

式を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.2

$x + 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.8

分数をまとめます。

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ステップ 3.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.8.3

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}}$ に $\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{x + 1 - (x - 1)}{(1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}) {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

積の法則を $\frac{x - 1}{x + 1}$ に当てはめます。

$\frac{x + 1 - (x - 1)}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x + 1 - x - - 1}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$x + 1 - x - - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.3.1.1

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{0 + 1 - - 1}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.1.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 - - 1}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1 + 1}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4

項をまとめます。

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ステップ 4.4.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{2}{(\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{\frac{{(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.3

$\frac{{(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ と ${(x + 1)}^{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{\frac{({(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}}$

ステップ 4.4.4

${(x + 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{\frac{({(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}}$

ステップ 4.4.4.2

${(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.5

分母を簡約します。

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ステップ 4.5.1

${(x + 1)}^{2}$ を $(x + 1) (x + 1)$ に書き換えます。

$\frac{2}{(x + 1) (x + 1) + {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x + 1)$ を展開します。

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ステップ 4.5.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2}{x (x + 1) + 1 (x + 1) + {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) + {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 + {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.5.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.5.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2}{x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 + {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.3.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 + {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.3.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 + {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.3.1.4

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{x^{2} + x + x + 1 + {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.3.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.4

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (x - 1)}$

ステップ 4.5.5

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

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ステップ 4.5.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x (x - 1) - 1 (x - 1)}$

ステップ 4.5.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}$

ステップ 4.5.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}$

ステップ 4.5.6

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.5.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.5.6.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}$

ステップ 4.5.6.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

ステップ 4.5.6.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

ステップ 4.5.6.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1}$

ステップ 4.5.6.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - x - x + 1}$

ステップ 4.5.6.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - 2 x + 1}$

ステップ 4.5.7

$x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{2}{2 x^{2} + 2 x + 1 - 2 x + 1}$

ステップ 4.5.8

$2 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{2}{2 x^{2} + 0 + 1 + 1}$

ステップ 4.5.9

$2 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2}{2 x^{2} + 1 + 1}$

ステップ 4.5.10

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2}{2 x^{2} + 2}$

ステップ 4.5.11

$2$ を $2 x^{2} + 2$ で因数分解します。

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ステップ 4.5.11.1

$2$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2}{2 (x^{2}) + 2}$

ステップ 4.5.11.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2}{2 (x^{2}) + 2 (1)}$

ステップ 4.5.11.3

$2$ を $2 (x^{2}) + 2 (1)$ で因数分解します。

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1)}$

ステップ 4.6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1)}$

ステップ 4.6.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{2} + 1}$

微分積分 例

微分積分例