微分積分例

$f (x) = \tan (x) - x^{3} \cos (x)$

ステップ 1

総和則では、 $\tan (x) - x^{3} \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3} \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3} \cos (x)]$

ステップ 2

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- x^{3} \cos (x)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- x^{3} \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3} \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)]$ です。

$\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\sec^{2} (x) - (x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\sec^{2} (x) - (x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sec^{2} (x) - (x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) (3 x^{2}))$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\sec^{2} (x) - (x^{3} (- \sin (x))) - (\cos (x) (3 x^{2}))$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\sec^{2} (x) + 1 (x^{3} (\sin (x))) - (\cos (x) (3 x^{2}))$

ステップ 4.2.2

$x^{3}$ に $1$ をかけます。

$\sec^{2} (x) + x^{3} \sin (x) - (\cos (x) (3 x^{2}))$

ステップ 4.2.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\sec^{2} (x) + x^{3} \sin (x) - 3 \cos (x) x^{2}$

ステップ 4.3

項を並べ替えます。

$x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x) + \sec^{2} (x)$

ステップ 4.4

各項を簡約します。

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ステップ 4.4.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

ステップ 4.4.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4.4.3

1のすべての数の累乗は1です。

$x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4.5

各項を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4.5.2

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ を ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ に書き換えます。

$x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

ステップ 4.5.3

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x) + \sec^{2} (x)$

微分積分 例

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