微分積分例

$f (x) = \sin (x) \sec^{2} (x)$

ステップ 1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \sec^{2} (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)] + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sec (x)$ とします。

$\sin (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sin (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$\sin (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 3

$2$ を $\sin (x)$ の左に移動させます。

$2 \cdot \sin (x) \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$2 \sin (x) \sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 5

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$2 \sin (x) (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 6

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$2 \sin (x) (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \sin (x) {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 8

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 \sin (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 9

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$2 \sin (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

項を並べ替えます。

$2 \sec^{2} (x) \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 10.2

各項を簡約します。

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ステップ 10.2.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 10.2.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 10.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 10.2.4

$2$ と $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ をまとめます。

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 10.2.5

$\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 10.2.6

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 10.2.7

まとめる。

$\frac{2 \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 10.2.8

指数を足して $\cos^{2} (x)$ に $\cos (x)$ を掛けます。

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ステップ 10.2.8.1

$\cos^{2} (x)$ に $\cos (x)$ をかけます。

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ステップ 10.2.8.1.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 10.2.8.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 \sin (x) \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 10.2.8.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \sin (x) \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 10.2.9

分子を簡約します。

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ステップ 10.2.9.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos^{3} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 10.2.9.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos^{3} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 10.2.9.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{3} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 10.2.9.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 10.2.10

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x)$

ステップ 10.2.11

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

ステップ 10.2.12

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.12.1

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

ステップ 10.2.12.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

ステップ 10.2.12.3

式を書き換えます。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x)}$

ステップ 10.2.13

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 10.3

各項を簡約します。

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ステップ 10.3.1

$1$ を掛けます。

$\frac{2 (\sin^{2} (x) \cdot 1)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 10.3.2

$\cos^{2} (x)$ を $\cos^{3} (x)$ で因数分解します。

$\frac{2 (\sin^{2} (x) \cdot 1)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 10.3.3

分数を分解します。

$\frac{2 \cdot (1)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 10.3.4

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ を $\tan^{2} (x)$ に変換します。

$\frac{2 \cdot (1)}{\cos (x)} \tan^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 10.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{\cos (x)} \tan^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 10.3.6

分数を分解します。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 10.3.7

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\frac{2}{1} \sec (x) \tan^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 10.3.8

$2$ を $1$ で割ります。

$2 \sec (x) \tan^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 10.3.9

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$2 \sec (x) \tan^{2} (x) + \sec (x)$

微分積分 例

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