微分積分例

$f (x) = \sin (\sec (\arccos (x)))$

ステップ 1

交点 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ 、 $(x, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arccos (x)$ は正のx軸と、原点から始まって $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\sec (\arccos (x))$ は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{x})]$

ステップ 2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{1}{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{x}$ で置き換えます。

$\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\cos (\frac{1}{x}) (- \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 4.2

$\cos (\frac{1}{x})$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}$

微分積分 例

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