微分積分例

$f (x) = n \ln (1 + \frac{x}{n})$

ステップ 1

$f (n) = n$ および $g (n) = \ln (1 + \frac{x}{n})$ のとき、 $\frac{d}{d n} [f (n) g (n)]$ は $f (n) \frac{d}{d n} [g (n)] + g (n) \frac{d}{d n} [f (n)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$n \frac{d}{d n} [\ln (1 + \frac{x}{n})] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

ステップ 2

$f (n) = \ln (n)$ および $g (n) = 1 + \frac{x}{n}$ のとき、 $\frac{d}{d n} [f (g (n))]$ は $f' (g (n)) g' (n)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 + \frac{x}{n}$ とします。

$n (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d n} [1 + \frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$n (\frac{1}{u} \frac{d}{d n} [1 + \frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $1 + \frac{x}{n}$ で置き換えます。

$n (\frac{1}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [1 + \frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{1 + \frac{x}{n}}$ と $n$ をまとめます。

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [1 + \frac{x}{n}] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

ステップ 3.2

総和則では、 $1 + \frac{x}{n}$ の $n$ に関する積分は $\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [\frac{x}{n}]$ です。

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} (\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [\frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

ステップ 3.3

$1$ は $n$ について定数なので、 $n$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} (0 + \frac{d}{d n} [\frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

ステップ 3.4

$0$ と $\frac{d}{d n} [\frac{x}{n}]$ をたし算します。

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [\frac{x}{n}] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

ステップ 3.5

$x$ は $n$ に対して定数なので、 $n$ に対する $\frac{x}{n}$ の微分係数は $x \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]$ です。

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} (x \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

ステップ 3.6

分数をまとめます。

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ステップ 3.6.1

$x$ と $\frac{n}{1 + \frac{x}{n}}$ をまとめます。

$\frac{x n}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

ステップ 3.6.2

$\frac{1}{n}$ を $n^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{x n}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [n^{- 1}] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

ステップ 3.7

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ は $n \cdot n^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x n}{1 + \frac{x}{n}} (- n^{- 2}) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

ステップ 3.8

$\frac{x n}{1 + \frac{x}{n}}$ と $n^{- 2}$ をまとめます。

$- \frac{x n \cdot n^{- 2}}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

ステップ 4

指数を足して $n$ に $n^{- 2}$ を掛けます。

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ステップ 4.1

$n^{- 2}$ を移動させます。

$- \frac{x (n^{- 2} n)}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

ステップ 4.2

$n^{- 2}$ に $n$ をかけます。

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ステップ 4.2.1

$n$ を $1$ 乗します。

$- \frac{x (n^{- 2} n^{1})}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

ステップ 4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{x n^{- 2 + 1}}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

ステップ 4.3

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{x n^{- 1}}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

ステップ 5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $n^{- 1}$ を分母に移動させます。

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

ステップ 6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ は $n \cdot n^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \cdot 1$

ステップ 7

$\ln (1 + \frac{x}{n})$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \ln (1 + \frac{x}{n})$

ステップ 8

$\ln (1 + \frac{x}{n})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{(1 + \frac{x}{n}) n}{(1 + \frac{x}{n}) n}$ を掛けます。

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \cdot \frac{(1 + \frac{x}{n}) n}{(1 + \frac{x}{n}) n}$

ステップ 9

$\ln (1 + \frac{x}{n})$ と $\frac{(1 + \frac{x}{n}) n}{(1 + \frac{x}{n}) n}$ をまとめます。

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \frac{\ln (1 + \frac{x}{n}) ((1 + \frac{x}{n}) n)}{(1 + \frac{x}{n}) n}$

ステップ 10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) ((1 + \frac{x}{n}) n)}{(1 + \frac{x}{n}) n}$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (1 n + \frac{x}{n} n)}{(1 + \frac{x}{n}) n}$

ステップ 11.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (1 n + \frac{x}{n} n)}{1 n + \frac{x}{n} n}$

ステップ 11.3

分子を簡約します。

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ステップ 11.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.3.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.3.1.1.1

$n$ に $1$ をかけます。

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (n + \frac{x}{n} n)}{1 n + \frac{x}{n} n}$

ステップ 11.3.1.1.2

$n$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (n + \frac{x}{n} n)}{1 n + \frac{x}{n} n}$

ステップ 11.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (n + x)}{1 n + \frac{x}{n} n}$

ステップ 11.3.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) n + \ln (1 + \frac{x}{n}) x}{1 n + \frac{x}{n} n}$

ステップ 11.3.2

$- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) n + \ln (1 + \frac{x}{n}) x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{1 n + \frac{x}{n} n}$

ステップ 11.4

項をまとめます。

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ステップ 11.4.1

$n$ に $1$ をかけます。

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{n + \frac{x}{n} n}$

ステップ 11.4.2

$\frac{x}{n}$ と $n$ をまとめます。

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{n + \frac{x n}{n}}$

ステップ 11.4.3

$n$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.4.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{n + \frac{x n}{n}}$

ステップ 11.4.3.2

$x$ を $1$ で割ります。

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{n + x}$

ステップ 11.5

項を並べ替えます。

$\frac{n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n}) - x}{n + x}$

ステップ 11.6

各項を簡約します。

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ステップ 11.6.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{n \ln (\frac{n}{n} + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n}) - x}{n + x}$

ステップ 11.6.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{n \ln (\frac{n + x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n}) - x}{n + x}$

ステップ 11.6.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{n \ln (\frac{n + x}{n}) + x \ln (\frac{n}{n} + \frac{x}{n}) - x}{n + x}$

ステップ 11.6.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{n \ln (\frac{n + x}{n}) + x \ln (\frac{n + x}{n}) - x}{n + x}$

微分積分 例

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