微分積分例

$f (x) = \sin ({(0.5 - x)}^{1 + a})$

ステップ 1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = {(0.5 - x)}^{1 + a}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(0.5 - x)}^{1 + a}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(0.5 - x)}^{1 + a}]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(0.5 - x)}^{1 + a}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(0.5 - x)}^{1 + a}$ で置き換えます。

$\cos ({(0.5 - x)}^{1 + a}) \frac{d}{d x} [{(0.5 - x)}^{1 + a}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{1 + a}$ および $g (x) = 0.5 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $0.5 - x$ とします。

$\cos ({(0.5 - x)}^{1 + a}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{1 + a}] \frac{d}{d x} [0.5 - x])$

ステップ 2.2

$n = 1 + a$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos ({(0.5 - x)}^{1 + a}) ((1 + a) {u_{2}}^{1 + a - 1} \frac{d}{d x} [0.5 - x])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $0.5 - x$ で置き換えます。

$\cos ({(0.5 - x)}^{1 + a}) ((1 + a) {(0.5 - x)}^{1 + a - 1} \frac{d}{d x} [0.5 - x])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$1$ から $1$ を引きます。

$\cos ({(0.5 - x)}^{1 + a}) ((1 + a) {(0.5 - x)}^{a + 0} \frac{d}{d x} [0.5 - x])$

ステップ 3.2

$a$ と $0$ をたし算します。

$\cos ({(0.5 - x)}^{1 + a}) ((1 + a) {(0.5 - x)}^{a} \frac{d}{d x} [0.5 - x])$

ステップ 3.3

総和則では、 $0.5 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [0.5] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\cos ({(0.5 - x)}^{1 + a}) ((1 + a) {(0.5 - x)}^{a} (\frac{d}{d x} [0.5] + \frac{d}{d x} [- x]))$

ステップ 3.4

$0.5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $0.5$ の微分係数は $0$ です。

$\cos ({(0.5 - x)}^{1 + a}) ((1 + a) {(0.5 - x)}^{a} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))$

ステップ 3.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$\cos ({(0.5 - x)}^{1 + a}) ((1 + a) {(0.5 - x)}^{a} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 3.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cos ({(0.5 - x)}^{1 + a}) ((1 + a) {(0.5 - x)}^{a} (- \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos ({(0.5 - x)}^{1 + a}) ((1 + a) {(0.5 - x)}^{a} (- 1 \cdot 1))$

ステップ 3.8

式を簡約します。

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ステップ 3.8.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\cos ({(0.5 - x)}^{1 + a}) ((1 + a) {(0.5 - x)}^{a} \cdot - 1)$

ステップ 3.8.2

$- 1$ を $(1 + a) {(0.5 - x)}^{a}$ の左に移動させます。

$\cos ({(0.5 - x)}^{1 + a}) (- 1 \cdot ((1 + a) {(0.5 - x)}^{a}))$

ステップ 3.8.3

$- 1 (1 + a)$ を $- (1 + a)$ に書き換えます。

$\cos ({(0.5 - x)}^{1 + a}) (- (1 + a) {(0.5 - x)}^{a})$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\cos ({(0.5 - x)}^{1 + a}) ((- 1 \cdot 1 - a) {(0.5 - x)}^{a})$

ステップ 4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\cos ({(0.5 - x)}^{1 + a}) ((- 1 - a) {(0.5 - x)}^{a})$

ステップ 4.3

$\cos ({(0.5 - x)}^{1 + a}) ((- 1 - a) {(0.5 - x)}^{a})$ の因数を並べ替えます。

${(0.5 - x)}^{a} \cos ({(0.5 - x)}^{1 + a}) (- 1 - a)$

微分積分 例

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