微分積分例

$f (x) = \ln (x + 5) + \ln (2 x - 1) + \ln (4 - x)$

ステップ 1

総和則では、 $\ln (x + 5) + \ln (2 x - 1) + \ln (4 - x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\ln (x + 5)] + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\ln (x + 5)] + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\ln (x + 5)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x + 5$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + 5] + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

ステップ 2.1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + 5] + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x + 5$ で置き換えます。

$\frac{1}{x + 5} \frac{d}{d x} [x + 5] + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

ステップ 2.2

総和則では、 $x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{1}{x + 5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x + 5} (1 + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

ステップ 2.4

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{x + 5} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

ステップ 2.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{x + 5} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

ステップ 2.6

$\frac{1}{x + 5}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 2 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x - 1$ とします。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x - 1] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

ステップ 3.1.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

ステップ 3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{2 x - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

ステップ 3.2

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{2 x - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

ステップ 3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{2 x - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{2 x - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

ステップ 3.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{2 x - 1} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

ステップ 3.6

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{2 x - 1} (2 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

ステップ 3.7

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{2 x - 1} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

ステップ 3.8

$\frac{1}{2 x - 1}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

ステップ 4

$\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 4 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $4 - x$ とします。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{d}{d u_{3}} [\ln (u_{3})] \frac{d}{d x} [4 - x]$

ステップ 4.1.2

$u_{3}$ に関する $\ln (u_{3})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{3}}$ です。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{u_{3}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

ステップ 4.1.3

$u_{3}$ のすべての発生を $4 - x$ で置き換えます。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{4 - x} \frac{d}{d x} [4 - x]$

ステップ 4.2

総和則では、 $4 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{4 - x} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 4.3

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{4 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 4.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{4 - x} (0 - \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{4 - x} (0 - 1 \cdot 1)$

ステップ 4.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{4 - x} (0 - 1)$

ステップ 4.7

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{4 - x} \cdot - 1$

ステップ 4.8

$\frac{1}{4 - x}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{- 1}{4 - x}$

ステップ 4.9

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} - \frac{1}{4 - x}$

ステップ 5

項をまとめます。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{x + 5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{x + 5} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} + \frac{2}{2 x - 1} - \frac{1}{4 - x}$

ステップ 5.2

$\frac{2}{2 x - 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 5}{x + 5}$ を掛けます。

$\frac{1}{x + 5} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} + \frac{2}{2 x - 1} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{1}{4 - x}$

ステップ 5.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + 5) (2 x - 1)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.3.1

$\frac{1}{x + 5}$ に $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ をかけます。

$\frac{2 x - 1}{(x + 5) (2 x - 1)} + \frac{2}{2 x - 1} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{1}{4 - x}$

ステップ 5.3.2

$\frac{2}{2 x - 1}$ に $\frac{x + 5}{x + 5}$ をかけます。

$\frac{2 x - 1}{(x + 5) (2 x - 1)} + \frac{2 (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)} - \frac{1}{4 - x}$

ステップ 5.3.3

$(x + 5) (2 x - 1)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{2 x - 1}{(2 x - 1) (x + 5)} + \frac{2 (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)} - \frac{1}{4 - x}$

ステップ 5.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 x - 1 + 2 (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)} - \frac{1}{4 - x}$

ステップ 5.5

$\frac{2 x - 1 + 2 (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4 - x}{4 - x}$ を掛けます。

$\frac{2 x - 1 + 2 (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)} \cdot \frac{4 - x}{4 - x} - \frac{1}{4 - x}$

ステップ 5.6

$- \frac{1}{4 - x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{(2 x - 1) (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)}$ を掛けます。

$\frac{2 x - 1 + 2 (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)} \cdot \frac{4 - x}{4 - x} - \frac{1}{4 - x} \cdot \frac{(2 x - 1) (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)}$

ステップ 5.7

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(2 x - 1) (x + 5) (4 - x)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.7.1

$\frac{2 x - 1 + 2 (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)}$ に $\frac{4 - x}{4 - x}$ をかけます。

$\frac{(2 x - 1 + 2 (x + 5)) (4 - x)}{(2 x - 1) (x + 5) (4 - x)} - \frac{1}{4 - x} \cdot \frac{(2 x - 1) (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)}$

ステップ 5.7.2

$\frac{1}{4 - x}$ に $\frac{(2 x - 1) (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)}$ をかけます。

$\frac{(2 x - 1 + 2 (x + 5)) (4 - x)}{(2 x - 1) (x + 5) (4 - x)} - \frac{(2 x - 1) (x + 5)}{(4 - x) ((2 x - 1) (x + 5))}$

ステップ 5.7.3

$(2 x - 1) (x + 5) (4 - x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(2 x - 1 + 2 (x + 5)) (4 - x)}{(2 x - 1) (4 - x) (x + 5)} - \frac{(2 x - 1) (x + 5)}{(4 - x) ((2 x - 1) (x + 5))}$

ステップ 5.7.4

$(4 - x) ((2 x - 1) (x + 5))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(2 x - 1 + 2 (x + 5)) (4 - x)}{(2 x - 1) (4 - x) (x + 5)} - \frac{(2 x - 1) (x + 5)}{(2 x - 1) (4 - x) (x + 5)}$

ステップ 5.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(2 x - 1 + 2 (x + 5)) (4 - x) - (2 x - 1) (x + 5)}{(2 x - 1) (4 - x) (x + 5)}$

微分積分 例

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