微分積分例

$f (x) = \log (\log (x^{2} - 3))$

ステップ 1

$f (x) = \log (x)$ および $g (x) = \log (x^{2} - 3)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\log (x^{2} - 3)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\log (u_{1})] \frac{d}{d x} [\log (x^{2} - 3)]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\log (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1} \ln (10)}$ です。

$\frac{1}{u_{1} \ln (10)} \frac{d}{d x} [\log (x^{2} - 3)]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\log (x^{2} - 3)$ で置き換えます。

$\frac{1}{\log (x^{2} - 3) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\log (x^{2} - 3)]$

ステップ 2

$f (x) = \log (x)$ および $g (x) = x^{2} - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{2} - 3$ とします。

$\frac{1}{\log (x^{2} - 3) \ln (10)} (\frac{d}{d u_{2}} [\log (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\log (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2} \ln (10)}$ です。

$\frac{1}{\log (x^{2} - 3) \ln (10)} (\frac{1}{u_{2} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{2} - 3$ で置き換えます。

$\frac{1}{\log (x^{2} - 3) \ln (10)} (\frac{1}{(x^{2} - 3) \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3])$

ステップ 3

$\frac{1}{(x^{2} - 3) \ln (10)}$ に $\frac{1}{\log (x^{2} - 3) \ln (10)}$ をかけます。

$\frac{1}{(x^{2} - 3) \ln (10) (\log (x^{2} - 3) \ln (10))} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

ステップ 4

$\ln (10)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{(x^{2} - 3) (\ln^{1} (10) \ln (10)) \log (x^{2} - 3)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

ステップ 5

$\ln (10)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{(x^{2} - 3) (\ln^{1} (10) \ln^{1} (10)) \log (x^{2} - 3)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

ステップ 6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{(x^{2} - 3) {\ln (10)}^{1 + 1} \log (x^{2} - 3)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

ステップ 7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{(x^{2} - 3) \ln^{2} (10) \log (x^{2} - 3)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

ステップ 8

総和則では、 $x^{2} - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{1}{(x^{2} - 3) \ln^{2} (10) \log (x^{2} - 3)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{(x^{2} - 3) \ln^{2} (10) \log (x^{2} - 3)} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 10

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{(x^{2} - 3) \ln^{2} (10) \log (x^{2} - 3)} (2 x + 0)$

ステップ 11

分数をまとめます。

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ステップ 11.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{(x^{2} - 3) \ln^{2} (10) \log (x^{2} - 3)} (2 x)$

ステップ 11.2

$2$ と $\frac{1}{(x^{2} - 3) \ln^{2} (10) \log (x^{2} - 3)}$ をまとめます。

$\frac{2}{(x^{2} - 3) \ln^{2} (10) \log (x^{2} - 3)} x$

ステップ 11.3

$\frac{2}{(x^{2} - 3) \ln^{2} (10) \log (x^{2} - 3)}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{(x^{2} - 3) \ln^{2} (10) \log (x^{2} - 3)}$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x}{(x^{2} \ln^{2} (10) - 3 \ln^{2} (10)) \log (x^{2} - 3)}$

ステップ 12.2

項を並べ替えます。

$\frac{2 x}{\log (x^{2} - 3) (x^{2} \ln^{2} (10) - 3 \ln^{2} (10))}$

微分積分 例

微分積分例