微分積分例

$f (x) = \log (x^{2} - \frac{1}{x})$

ステップ 1

$f (x) = \log (x)$ および $g (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - \frac{1}{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\log (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{1}{x}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\log (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u \ln (10)}$ です。

$\frac{1}{u \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{1}{x}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - \frac{1}{x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{1}{x}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{2} - \frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ です。

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}])$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}])$

ステップ 3

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.3

掛け算します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.3.2

$x^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x + x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0)$

ステップ 4.5

式を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$\frac{1}{x}$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x + x^{- 2} + 0)$

ステップ 4.5.2

$2 x + x^{- 2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x + x^{- 2})$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x + \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{x^{2} \ln (10) - \frac{1}{x} \ln (10)} (2 x + \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 5.3

$\ln (10)$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{1}{x^{2} \ln (10) - \frac{\ln (10)}{x}} (2 x + \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 5.4

$\frac{1}{x^{2} \ln (10) - \frac{\ln (10)}{x}} (2 x + \frac{1}{x^{2}})$ の因数を並べ替えます。

$(2 x + \frac{1}{x^{2}}) \frac{1}{x^{2} \ln (10) - \frac{\ln (10)}{x}}$

ステップ 5.5

分母を簡約します。

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ステップ 5.5.1

$x^{2} \ln (10)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$(2 x + \frac{1}{x^{2}}) \frac{1}{\frac{x^{2} \ln (10) x}{x} - \frac{\ln (10)}{x}}$

ステップ 5.5.2

公分母の分子をまとめます。

$(2 x + \frac{1}{x^{2}}) \frac{1}{\frac{x^{2} \ln (10) x - \ln (10)}{x}}$

ステップ 5.5.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 5.5.3.1

$x$ を移動させます。

$(2 x + \frac{1}{x^{2}}) \frac{1}{\frac{x \cdot x^{2} \ln (10) - \ln (10)}{x}}$

ステップ 5.5.3.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 5.5.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$(2 x + \frac{1}{x^{2}}) \frac{1}{\frac{x^{1} x^{2} \ln (10) - \ln (10)}{x}}$

ステップ 5.5.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(2 x + \frac{1}{x^{2}}) \frac{1}{\frac{x^{1 + 2} \ln (10) - \ln (10)}{x}}$

ステップ 5.5.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$(2 x + \frac{1}{x^{2}}) \frac{1}{\frac{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}{x}}$

ステップ 5.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$(2 x + \frac{1}{x^{2}}) (1 \frac{x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)})$

ステップ 5.7

$\frac{x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$ に $1$ をかけます。

$(2 x + \frac{1}{x^{2}}) \frac{x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

ステップ 5.8

$2 x + \frac{1}{x^{2}}$ に $\frac{x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$ をかけます。

$\frac{(2 x + \frac{1}{x^{2}}) x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

ステップ 5.9

分子を簡約します。

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ステップ 5.9.1

$2 x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ を掛けます。

$\frac{(\frac{2 x \cdot x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}) x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

ステップ 5.9.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{2 x \cdot x^{2} + 1}{x^{2}} x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

ステップ 5.9.3

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.9.3.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{\frac{2 (x^{2} x) + 1}{x^{2}} x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

ステップ 5.9.3.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 5.9.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{2 (x^{2} x^{1}) + 1}{x^{2}} x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

ステップ 5.9.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{2 x^{2 + 1} + 1}{x^{2}} x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

ステップ 5.9.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{2 x^{3} + 1}{x^{2}} x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

ステップ 5.10

$\frac{2 x^{3} + 1}{x^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{\frac{(2 x^{3} + 1) x}{x^{2}}}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

ステップ 5.11

今日数因数で約分することで式 $\frac{(2 x^{3} + 1) x}{x^{2}}$ を約分します。

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ステップ 5.11.1

$x$ を $(2 x^{3} + 1) x$ で因数分解します。

$\frac{\frac{x (2 x^{3} + 1)}{x^{2}}}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

ステップ 5.11.2

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{x (2 x^{3} + 1)}{x \cdot x}}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

ステップ 5.11.3

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{x (2 x^{3} + 1)}{x \cdot x}}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

ステップ 5.11.4

式を書き換えます。

$\frac{\frac{2 x^{3} + 1}{x}}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

ステップ 5.12

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{2 x^{3} + 1}{x} \cdot \frac{1}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

ステップ 5.13

$\frac{2 x^{3} + 1}{x}$ に $\frac{1}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 1}{x (x^{3} \ln (10) - \ln (10))}$

微分積分 例

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