微分積分例

$f (z) = z^{2} (z + 4) - \frac{2 z}{z^{2} + 1}$

ステップ 1

総和則では、 $z^{2} (z + 4) - \frac{2 z}{z^{2} + 1}$ の $z$ に関する積分は $\frac{d}{d z} [z^{2} (z + 4)] + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$ です。

$\frac{d}{d z} [z^{2} (z + 4)] + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d z} [z^{2} (z + 4)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (z) = z^{2}$ および $g (z) = z + 4$ のとき、 $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ は $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$z^{2} \frac{d}{d z} [z + 4] + (z + 4) \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

ステップ 2.2

総和則では、 $z + 4$ の $z$ に関する積分は $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [4]$ です。

$z^{2} (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [4]) + (z + 4) \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$z^{2} (1 + \frac{d}{d z} [4]) + (z + 4) \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

ステップ 2.4

$4$ は $z$ について定数なので、 $z$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$z^{2} (1 + 0) + (z + 4) \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

ステップ 2.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$z^{2} (1 + 0) + (z + 4) (2 z) + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

ステップ 2.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$z^{2} \cdot 1 + (z + 4) (2 z) + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

ステップ 2.7

$z^{2}$ に $1$ をかけます。

$z^{2} + (z + 4) (2 z) + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

ステップ 2.8

$2$ を $z + 4$ の左に移動させます。

$z^{2} + 2 (z + 4) z + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- 2$ は $z$ に対して定数なので、 $z$ に対する $- \frac{2 z}{z^{2} + 1}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d z} [\frac{z}{z^{2} + 1}]$ です。

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{d}{d z} [\frac{z}{z^{2} + 1}]$

ステップ 3.2

$f (z) = z$ および $g (z) = z^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ は $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{(z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z] - z \frac{d}{d z} [z^{2} + 1]}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{(z^{2} + 1) \cdot 1 - z \frac{d}{d z} [z^{2} + 1]}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4

総和則では、 $z^{2} + 1$ の $z$ に関する積分は $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$ です。

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{(z^{2} + 1) \cdot 1 - z (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{(z^{2} + 1) \cdot 1 - z (2 z + \frac{d}{d z} [1])}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.6

$1$ は $z$ について定数なので、 $z$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{(z^{2} + 1) \cdot 1 - z (2 z + 0)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.7

$z^{2} + 1$ に $1$ をかけます。

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{z^{2} + 1 - z (2 z + 0)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.8

$2 z$ と $0$ をたし算します。

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{z^{2} + 1 - z (2 z)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.9

$2$ に $- 1$ をかけます。

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{z^{2} + 1 - 2 z \cdot z}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.10

$z$ を $1$ 乗します。

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{z^{2} + 1 - 2 (z^{1} z)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.11

$z$ を $1$ 乗します。

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{z^{2} + 1 - 2 (z^{1} z^{1})}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.12

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{z^{2} + 1 - 2 z^{1 + 1}}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.13

$1$ と $1$ をたし算します。

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{z^{2} + 1 - 2 z^{2}}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.14

$z^{2}$ から $2 z^{2}$ を引きます。

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{- z^{2} + 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.15

$- 2$ と $\frac{- z^{2} + 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$z^{2} + 2 (z + 4) z + \frac{- 2 (- z^{2} + 1)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.16

分数の前に負数を移動させます。

$z^{2} + 2 (z + 4) z - \frac{2 (- z^{2} + 1)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$z^{2} + (2 z + 2 \cdot 4) z - \frac{2 (- z^{2} + 1)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$z^{2} + 2 z \cdot z + 2 \cdot 4 z - \frac{2 (- z^{2} + 1)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$z^{2} + 2 z \cdot z + 2 \cdot 4 z - \frac{2 (- z^{2}) + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4

項をまとめます。

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ステップ 4.4.1

$z$ を $1$ 乗します。

$z^{2} + 2 (z^{1} z) + 2 \cdot 4 z - \frac{2 (- z^{2}) + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.2

$z$ を $1$ 乗します。

$z^{2} + 2 (z^{1} z^{1}) + 2 \cdot 4 z - \frac{2 (- z^{2}) + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$z^{2} + 2 z^{1 + 1} + 2 \cdot 4 z - \frac{2 (- z^{2}) + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$z^{2} + 2 z^{2} + 2 \cdot 4 z - \frac{2 (- z^{2}) + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.5

$2$ に $4$ をかけます。

$z^{2} + 2 z^{2} + 8 z - \frac{2 (- z^{2}) + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.6

$z^{2}$ と $2 z^{2}$ をたし算します。

$3 z^{2} + 8 z - \frac{2 (- z^{2}) + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.7

$- 1$ に $2$ をかけます。

$3 z^{2} + 8 z - \frac{- 2 z^{2} + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.8

$2$ に $1$ をかけます。

$3 z^{2} + 8 z - \frac{- 2 z^{2} + 2}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.9

$3 z^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(z^{2} + 1)}^{2}}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$ を掛けます。

$8 z + \frac{3 z^{2} {(z^{2} + 1)}^{2}}{{(z^{2} + 1)}^{2}} - \frac{- 2 z^{2} + 2}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.10

公分母の分子をまとめます。

$8 z + \frac{3 z^{2} {(z^{2} + 1)}^{2} - (- 2 z^{2} + 2)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

微分積分 例

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