微分積分例

$f (z) = \frac{2 \cos (z)}{z + 1}$

ステップ 1

$2$ は $z$ に対して定数なので、 $z$ に対する $\frac{2 \cos (z)}{z + 1}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d z} [\frac{\cos (z)}{z + 1}]$ です。

$2 \frac{d}{d z} [\frac{\cos (z)}{z + 1}]$

ステップ 2

$f (z) = \cos (z)$ および $g (z) = z + 1$ のとき、 $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ は $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$2 \frac{(z + 1) \frac{d}{d z} [\cos (z)] - \cos (z) \frac{d}{d z} [z + 1]}{{(z + 1)}^{2}}$

ステップ 3

$z$ に関する $\cos (z)$ の微分係数は $- \sin (z)$ です。

$2 \frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z) \frac{d}{d z} [z + 1]}{{(z + 1)}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $z + 1$ の $z$ に関する積分は $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [1]$ です。

$2 \frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [1])}{{(z + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z) (1 + \frac{d}{d z} [1])}{{(z + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3

$1$ は $z$ について定数なので、 $z$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 \frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z) (1 + 0)}{{(z + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4

分数をまとめます。

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ステップ 4.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$2 \frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z) \cdot 1}{{(z + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z)}{{(z + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.3

$2$ と $\frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z)}{{(z + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 ((z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (z (- \sin (z)) + 1 (- \sin (z)) - \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (z (- \sin (z))) + 2 (1 (- \sin (z))) + 2 (- \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

ステップ 5.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 (- z \sin (z)) + 2 (1 (- \sin (z))) + 2 (- \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2 (z \sin (z)) + 2 (1 (- \sin (z))) + 2 (- \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.3

$- \sin (z)$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 2 z \sin (z) + 2 (- \sin (z)) + 2 (- \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2 z \sin (z) - 2 \sin (z) + 2 (- \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2 z \sin (z) - 2 \sin (z) - 2 \cos (z)}{{(z + 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例