微分積分例

$f (y) = y \ln (11 x + 5 y)$

ステップ 1

$f (y) = y$ および $g (y) = \ln (11 x + 5 y)$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$y \frac{d}{d y} [\ln (11 x + 5 y)] + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2

$f (y) = \ln (y)$ および $g (y) = 11 x + 5 y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $11 x + 5 y$ とします。

$y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [11 x + 5 y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [11 x + 5 y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $11 x + 5 y$ で置き換えます。

$y (\frac{1}{11 x + 5 y} \frac{d}{d y} [11 x + 5 y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{11 x + 5 y}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{11 x + 5 y} \frac{d}{d y} [11 x + 5 y] + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 3.2

総和則では、 $11 x + 5 y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [11 x] + \frac{d}{d y} [5 y]$ です。

$\frac{y}{11 x + 5 y} (\frac{d}{d y} [11 x] + \frac{d}{d y} [5 y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 3.3

$11 x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $11 x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{y}{11 x + 5 y} (0 + \frac{d}{d y} [5 y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 3.4

$0$ と $\frac{d}{d y} [5 y]$ をたし算します。

$\frac{y}{11 x + 5 y} \frac{d}{d y} [5 y] + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 3.5

$5$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $5 y$ の微分係数は $5 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{y}{11 x + 5 y} (5 \frac{d}{d y} [y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 3.6

$5$ と $\frac{y}{11 x + 5 y}$ をまとめます。

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} \frac{d}{d y} [y] + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} \cdot 1 + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 3.8

$\frac{5 y}{11 x + 5 y}$ に $1$ をかけます。

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} + \ln (11 x + 5 y) \cdot 1$

ステップ 3.10

$\ln (11 x + 5 y)$ に $1$ をかけます。

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} + \ln (11 x + 5 y)$

ステップ 4

$\ln (11 x + 5 y)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{11 x + 5 y}{11 x + 5 y}$ を掛けます。

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} + \frac{\ln (11 x + 5 y) (11 x + 5 y)}{11 x + 5 y}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{5 y + \ln (11 x + 5 y) (11 x + 5 y)}{11 x + 5 y}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{5 y + \ln (11 x + 5 y) (11 x) + \ln (11 x + 5 y) (5 y)}{11 x + 5 y}$

ステップ 6.1.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{5 y + 11 \ln (11 x + 5 y) x + \ln (11 x + 5 y) (5 y)}{11 x + 5 y}$

ステップ 6.1.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{5 y + 11 \ln (11 x + 5 y) x + 5 \ln (11 x + 5 y) y}{11 x + 5 y}$

ステップ 6.1.1.4

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.1.4.1

対数の中の $11$ を移動させて $11 \ln (11 x + 5 y)$ を簡約します。

$\frac{5 y + \ln ({(11 x + 5 y)}^{11}) x + 5 \ln (11 x + 5 y) y}{11 x + 5 y}$

ステップ 6.1.1.4.2

対数の中の $5$ を移動させて $5 \ln (11 x + 5 y)$ を簡約します。

$\frac{5 y + \ln ({(11 x + 5 y)}^{11}) x + \ln ({(11 x + 5 y)}^{5}) y}{11 x + 5 y}$

ステップ 6.1.2

$5 y + \ln ({(11 x + 5 y)}^{11}) x + \ln ({(11 x + 5 y)}^{5}) y$ の因数を並べ替えます。

$\frac{5 y + x \ln ({(11 x + 5 y)}^{11}) + y \ln ({(11 x + 5 y)}^{5})}{11 x + 5 y}$

ステップ 6.2

項を並べ替えます。

$\frac{x \ln ({(11 x + 5 y)}^{11}) + y \ln ({(11 x + 5 y)}^{5}) + 5 y}{11 x + 5 y}$

微分積分 例

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