微分積分例

$f (y) = y \ln (1 + e^{y})$

ステップ 1

$f (y) = y$ および $g (y) = \ln (1 + e^{y})$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$y \frac{d}{d y} [\ln (1 + e^{y})] + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2

$f (y) = \ln (y)$ および $g (y) = 1 + e^{y}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 + e^{y}$ とします。

$y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [1 + e^{y}]) + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [1 + e^{y}]) + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $1 + e^{y}$ で置き換えます。

$y (\frac{1}{1 + e^{y}} \frac{d}{d y} [1 + e^{y}]) + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{1 + e^{y}}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{1 + e^{y}} \frac{d}{d y} [1 + e^{y}] + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 3.2

総和則では、 $1 + e^{y}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$ です。

$\frac{y}{1 + e^{y}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]) + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 3.3

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{y}{1 + e^{y}} (0 + \frac{d}{d y} [e^{y}]) + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 3.4

$0$ と $\frac{d}{d y} [e^{y}]$ をたし算します。

$\frac{y}{1 + e^{y}} \frac{d}{d y} [e^{y}] + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ は $a^{y} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{y}{1 + e^{y}} e^{y} + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 5

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 5.1

$\frac{y}{1 + e^{y}}$ と $e^{y}$ をまとめます。

$\frac{y e^{y}}{1 + e^{y}} + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y e^{y}}{1 + e^{y}} + \ln (1 + e^{y}) \cdot 1$

ステップ 5.3

$\ln (1 + e^{y})$ に $1$ をかけます。

$\frac{y e^{y}}{1 + e^{y}} + \ln (1 + e^{y})$

ステップ 6

$\ln (1 + e^{y})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + e^{y}}{1 + e^{y}}$ を掛けます。

$\frac{y e^{y}}{1 + e^{y}} + \frac{\ln (1 + e^{y}) (1 + e^{y})}{1 + e^{y}}$

ステップ 7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{y e^{y} + \ln (1 + e^{y}) (1 + e^{y})}{1 + e^{y}}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{y e^{y} + \ln (1 + e^{y}) \cdot 1 + \ln (1 + e^{y}) e^{y}}{1 + e^{y}}$

ステップ 8.1.1.2

$\ln (1 + e^{y})$ に $1$ をかけます。

$\frac{y e^{y} + \ln (1 + e^{y}) + \ln (1 + e^{y}) e^{y}}{1 + e^{y}}$

ステップ 8.1.2

$y e^{y} + \ln (1 + e^{y}) + \ln (1 + e^{y}) e^{y}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{y e^{y} + \ln (1 + e^{y}) + e^{y} \ln (1 + e^{y})}{1 + e^{y}}$

ステップ 8.2

項を並べ替えます。

$\frac{e^{y} y + e^{y} \ln (1 + e^{y}) + \ln (1 + e^{y})}{1 + e^{y}}$

微分積分 例

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