微分積分例

$f (x) = x {(x - 4)}^{3} + 3$

ステップ 1

総和則では、 $x {(x - 4)}^{3} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{3}] + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 4$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 4$ で置き換えます。

$x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.3

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.5

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.7

$1$ と $0$ をたし算します。

$x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.8

$3$ に $1$ をかけます。

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.9

${(x - 4)}^{3}$ に $1$ をかけます。

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 3

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} + 0$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$ と $0$ をたし算します。

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$

ステップ 4.2

項を並べ替えます。

${(x - 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

ステップ 4.3

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1

二項定理を利用します。

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 4 + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

ステップ 4.3.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x^{3} - 12 x^{2} + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

ステップ 4.3.2.2

$- 4$ を $2$ 乗します。

$x^{3} - 12 x^{2} + 3 x \cdot 16 + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

ステップ 4.3.2.3

$16$ に $3$ をかけます。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

ステップ 4.3.2.4

$- 4$ を $3$ 乗します。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x {(x - 4)}^{2}$

ステップ 4.3.3

${(x - 4)}^{2}$ を $(x - 4) (x - 4)$ に書き換えます。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x ((x - 4) (x - 4))$

ステップ 4.3.4

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 4) (x - 4)$ を展開します。

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ステップ 4.3.4.1

分配則を当てはめます。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x (x - 4) - 4 (x - 4))$

ステップ 4.3.4.2

分配則を当てはめます。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4))$

ステップ 4.3.4.3

分配則を当てはめます。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)$

ステップ 4.3.5

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.3.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.5.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)$

ステップ 4.3.5.1.2

$- 4$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4)$

ステップ 4.3.5.1.3

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} - 4 x - 4 x + 16)$

ステップ 4.3.5.2

$- 4 x$ から $4 x$ を引きます。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} - 8 x + 16)$

ステップ 4.3.6

分配則を当てはめます。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x \cdot x^{2} + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

ステップ 4.3.7

簡約します。

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ステップ 4.3.7.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 (x^{2} x) + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

ステップ 4.3.7.1.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 4.3.7.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 (x^{2} x^{1}) + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

ステップ 4.3.7.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{2 + 1} + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

ステップ 4.3.7.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

ステップ 4.3.7.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 x \cdot x + 3 x \cdot 16$

ステップ 4.3.7.3

$16$ に $3$ をかけます。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 x \cdot x + 48 x$

ステップ 4.3.8

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.8.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.3.8.1.1

$x$ を移動させます。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 (x \cdot x) + 48 x$

ステップ 4.3.8.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 x^{2} + 48 x$

ステップ 4.3.8.2

$3$ に $- 8$ をかけます。

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x$

ステップ 4.4

$x^{3}$ と $3 x^{3}$ をたし算します。

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 - 24 x^{2} + 48 x$

ステップ 4.5

$- 12 x^{2}$ から $24 x^{2}$ を引きます。

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 64 + 48 x$

ステップ 4.6

$48 x$ と $48 x$ をたし算します。

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

微分積分 例

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