微分積分例

$f (x) = x {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5}}$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5}}] + {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ および $g (x) = x^{2} - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 5$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]) + {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{5}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]) + {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 5$ で置き換えます。

$x (\frac{1}{5} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]) + {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$x (\frac{1}{5} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]) + {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$x (\frac{1}{5} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]) + {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$x (\frac{1}{5} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]) + {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$x (\frac{1}{5} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]) + {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.2

$1$ から $5$ を引きます。

$x (\frac{1}{5} {(x^{2} - 5)}^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]) + {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7

分数をまとめます。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$x (\frac{1}{5} {(x^{2} - 5)}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]) + {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.2

$\frac{1}{5}$ と ${(x^{2} - 5)}^{- \frac{4}{5}}$ をまとめます。

$x (\frac{{(x^{2} - 5)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]) + {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} - 5)}^{- \frac{4}{5}}$ を分母に移動させます。

$x (\frac{1}{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]) + {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.4

$\frac{1}{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x}{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5] + {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8

総和則では、 $x^{2} - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$\frac{x}{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) + {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 5]) + {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 10

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x}{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}} (2 x + 0) + {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 11

分数をまとめます。

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ステップ 11.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x}{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}} (2 x) + {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 11.2

$2$ と $\frac{x}{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}}$ をまとめます。

$\frac{2 x}{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}} x + {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 11.3

$\frac{2 x}{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x \cdot x}{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}} + {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 12

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x)}{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}} + {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 13

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}} + {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 14

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{1 + 1}}{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}} + {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 15

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2}}{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}} + {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 16

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 x^{2}}{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}} + {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5}} \cdot 1$

ステップ 17

${(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2}}{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}} + {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5}}$

ステップ 18

${(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}}{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}}$ を掛けます。

$\frac{2 x^{2}}{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}} + {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5}} \cdot \frac{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}}{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 19

${(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5}}$ と $\frac{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}}{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}}$ をまとめます。

$\frac{2 x^{2}}{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}} + \frac{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5}} (5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}})}{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 20

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 x^{2} + {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5}} (5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}})}{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 21

指数を足して ${(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5}}$ に ${(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}$ を掛けます。

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ステップ 21.1

${(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}$ を移動させます。

$\frac{2 x^{2} + {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{5}} \cdot 5}{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 21.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{2} + {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5} + \frac{1}{5}} \cdot 5}{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 21.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 x^{2} + {(x^{2} - 5)}^{\frac{4 + 1}{5}} \cdot 5}{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 21.4

$4$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} + {(x^{2} - 5)}^{\frac{5}{5}} \cdot 5}{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 21.5

$5$ を $5$ で割ります。

$\frac{2 x^{2} + {(x^{2} - 5)}^{1} \cdot 5}{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 22

${(x^{2} - 5)}^{1} \cdot 5$ を簡約します。

$\frac{2 x^{2} + (x^{2} - 5) \cdot 5}{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 23

$5$ を $x^{2} - 5$ の左に移動させます。

$\frac{2 x^{2} + 5 \cdot (x^{2} - 5)}{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 24

簡約します。

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ステップ 24.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} + 5 x^{2} + 5 \cdot - 5}{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 24.2

分子を簡約します。

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ステップ 24.2.1

$5$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 5 x^{2} - 25}{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 24.2.2

$2 x^{2}$ と $5 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{7 x^{2} - 25}{5 {(x^{2} - 5)}^{\frac{4}{5}}}$

微分積分 例

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