微分積分例

$f (x) = x \cdot | x - 1 | + x + 1$

ステップ 1

総和則では、 $x \cdot | x - 1 | + x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x \cdot | x - 1 |] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x \cdot | x - 1 |] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [x \cdot | x - 1 |]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = | x - 1 |$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [| x - 1 |] + | x - 1 | \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2

$f (x) = | x |$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x - 1]) + | x - 1 | \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.2

$u$ に関する $| u |$ の微分係数は $\frac{u}{| u |}$ です。

$x (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x - 1]) + | x - 1 | \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$x (\frac{x - 1}{| x - 1 |} \frac{d}{d x} [x - 1]) + | x - 1 | \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$x (\frac{x - 1}{| x - 1 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + | x - 1 | \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (\frac{x - 1}{| x - 1 |} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + | x - 1 | \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$x (\frac{x - 1}{| x - 1 |} (1 + 0)) + | x - 1 | \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (\frac{x - 1}{| x - 1 |} (1 + 0)) + | x - 1 | \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.7

$1$ と $0$ をたし算します。

$x (\frac{x - 1}{| x - 1 |} \cdot 1) + | x - 1 | \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.8

$\frac{x - 1}{| x - 1 |}$ に $1$ をかけます。

$x \frac{x - 1}{| x - 1 |} + | x - 1 | \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.9

$x$ と $\frac{x - 1}{| x - 1 |}$ をまとめます。

$\frac{x (x - 1)}{| x - 1 |} + | x - 1 | \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.10

$| x - 1 |$ に $1$ をかけます。

$\frac{x (x - 1)}{| x - 1 |} + | x - 1 | + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.11

$| x - 1 |$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{| x - 1 |}{| x - 1 |}$ を掛けます。

$\frac{x (x - 1)}{| x - 1 |} + \frac{| x - 1 | | x - 1 |}{| x - 1 |} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.12

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x (x - 1) + | x - 1 | | x - 1 |}{| x - 1 |} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.13

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$\frac{x (x - 1) + | (x - 1) (x - 1) |}{| x - 1 |} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.14

$x - 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{x (x - 1) + | {(x - 1)}^{1} (x - 1) |}{| x - 1 |} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.15

$x - 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{x (x - 1) + | {(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1} |}{| x - 1 |} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.16

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x (x - 1) + | {(x - 1)}^{1 + 1} |}{| x - 1 |} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.17

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x (x - 1) + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (x - 1) + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x (x - 1) + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + 1 + 0$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + 1 + 0$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{1} x + x \cdot - 1 + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + 1 + 0$

ステップ 4.2.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{1} x^{1} + x \cdot - 1 + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + 1 + 0$

ステップ 4.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{1 + 1} + x \cdot - 1 + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + 1 + 0$

ステップ 4.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + 1 + 0$

ステップ 4.2.5

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + 1 + 0$

ステップ 4.2.6

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} - x + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + 1 + 0$

ステップ 4.2.7

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{x^{2} - x + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + \frac{| x - 1 |}{| x - 1 |} + 0$

ステップ 4.2.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{2} - x + | {(x - 1)}^{2} | + | x - 1 |}{| x - 1 |} + 0$

ステップ 4.2.9

$\frac{x^{2} - x + | {(x - 1)}^{2} | + | x - 1 |}{| x - 1 |}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} - x + | {(x - 1)}^{2} | + | x - 1 |}{| x - 1 |}$

微分積分 例

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