微分積分例

$f (x) = x \cdot {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}] + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ および $g (x) = 7 - 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $7 - 3 x$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$n = - \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $7 - 3 x$ で置き換えます。

$x (- \frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x (- \frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x (- \frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$x (- \frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x (- \frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$x (- \frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7

分数をまとめます。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$x (- \frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.2

${(7 - 3 x)}^{- \frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x (- \frac{{(7 - 3 x)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(7 - 3 x)}^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$x (- \frac{1}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.4

$x$ と $\frac{1}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$ をまとめます。

$- \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x] + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8

総和則では、 $7 - 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ です。

$- \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 9

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 10

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ をたし算します。

$- \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 3 x] + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 11

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} (- 3 \frac{d}{d x} [x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 12

分数をまとめます。

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ステップ 12.1

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$3 \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 12.2

$3$ と $\frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1 + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 14

$\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 15

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1$

ステップ 16

${(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 17

${(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 18

${(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ と $\frac{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{{(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} (2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}})}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 19

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 x + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} (2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}})}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 20

指数を足して ${(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ に ${(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 20.1

${(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}$ を移動させます。

$\frac{3 x + {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}} {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 20.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 x + {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 20.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 x + {(7 - 3 x)}^{\frac{3 - 1}{2}} \cdot 2}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 20.4

$3$ から $1$ を引きます。

$\frac{3 x + {(7 - 3 x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 20.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{3 x + {(7 - 3 x)}^{1} \cdot 2}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 21

${(7 - 3 x)}^{1} \cdot 2$ を簡約します。

$\frac{3 x + (7 - 3 x) \cdot 2}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 22

$2$ を $7 - 3 x$ の左に移動させます。

$\frac{3 x + 2 \cdot (7 - 3 x)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 23

簡約します。

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ステップ 23.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x + 2 \cdot 7 + 2 (- 3 x)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 23.2

分子を簡約します。

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ステップ 23.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 23.2.1.1

$2$ に $7$ をかけます。

$\frac{3 x + 14 + 2 (- 3 x)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 23.2.1.2

$- 3$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 x + 14 - 6 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 23.2.2

$3 x$ から $6 x$ を引きます。

$\frac{- 3 x + 14}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 23.3

$- 1$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$\frac{- (3 x) + 14}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 23.4

$14$ を $- 1 (- 14)$ に書き換えます。

$\frac{- (3 x) - 1 (- 14)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 23.5

$- 1$ を $- (3 x) - 1 (- 14)$ で因数分解します。

$\frac{- (3 x - 14)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 23.6

$- (3 x - 14)$ を $- 1 (3 x - 14)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (3 x - 14)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 23.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3 x - 14}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

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