微分積分例

$f (x) = \ln (- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1]$

ステップ 1.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [105 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [105 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [105 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [105 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.4

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [105 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.5

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [105 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [105 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.7

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [105 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.8

$105$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $105 x$ の微分係数は $105 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 105 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 105 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.10

$105$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 105 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.11

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 105 + 0)$

ステップ 1.2.12

$- 3 x^{2} + 6 x + 105$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 105)$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 105)$ の因数を並べ替えます。

$(- 3 x^{2} + 6 x + 105) \frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

ステップ 1.3.2

$- 3 x^{2} + 6 x + 105$ に $\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$ をかけます。

$\frac{- 3 x^{2} + 6 x + 105}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

ステップ 1.3.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.3.1

$3$ を $- 3 x^{2} + 6 x + 105$ で因数分解します。

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ステップ 1.3.3.1.1

$3$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2}) + 6 x + 105}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

ステップ 1.3.3.1.2

$3$ を $6 x$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 105}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

ステップ 1.3.3.1.3

$3$ を $105$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 (35)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

ステップ 1.3.3.1.4

$3$ を $3 (- x^{2}) + 3 (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (35)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

ステップ 1.3.3.1.5

$3$ を $3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (35)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2} + 2 x + 35)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

ステップ 1.3.3.2

群による因数分解。

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ステップ 1.3.3.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 35 = - 35$ で和が $b = 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.3.3.2.1.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2} + 2 (x) + 35)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

ステップ 1.3.3.2.1.2

$2$ を $- 5$ プラス $7$ に書き換える

$\frac{3 (- x^{2} + (- 5 + 7) x + 35)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

ステップ 1.3.3.2.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (- x^{2} - 5 x + 7 x + 35)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

ステップ 1.3.3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.3.3.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{3 ((- x^{2} - 5 x) + 7 x + 35)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

ステップ 1.3.3.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{3 (x (- x - 5) - 7 (- x - 5))}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

ステップ 1.3.3.2.3

最大公約数 $- x - 5$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{3 ((- x - 5) (x - 7))}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

$\frac{3 (- x - 5) (x - 7)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

ステップ 1.3.4

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (x) - 5) (x - 7)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

ステップ 1.3.5

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$\frac{3 (- (x) - 1 (5)) (x - 7)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

ステップ 1.3.6

$- 1$ を $- (x) - 1 (5)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (x + 5)) (x - 7)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

ステップ 1.3.7

$- (x + 5)$ を $- 1 (x + 5)$ に書き換えます。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

ステップ 1.3.8

$- 1$ を $- x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- (x^{3}) + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

ステップ 1.3.9

$- 1$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- (x^{3}) - (- 3 x^{2}) + 105 x + 1}$

ステップ 1.3.10

$- 1$ を $- (x^{3}) - (- 3 x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- (x^{3} - 3 x^{2}) + 105 x + 1}$

ステップ 1.3.11

$- 1$ を $105 x$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- (x^{3} - 3 x^{2}) - (- 105 x) + 1}$

ステップ 1.3.12

$- 1$ を $- (x^{3} - 3 x^{2}) - (- 105 x)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x) + 1}$

ステップ 1.3.13

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x) - 1 (- 1)}$

ステップ 1.3.14

$- 1$ を $- (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}$

ステップ 1.3.15

$- (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)$ を $- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}$

ステップ 1.3.16

共通因数を約分します。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}$

ステップ 1.3.17

式を書き換えます。

$\frac{3 (x + 5) (x - 7)}{x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3 (x + 5) (x - 7)}{x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 5) (x - 7)}{x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1}]$ です。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{(x + 5) (x - 7)}{x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1})$

ステップ 2.2

$f (x) = (x + 5) (x - 7)$ および $g (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) \frac{d}{d x} ((x + 5) (x - 7)) - (x + 5) (x - 7) \frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

ステップ 2.3

$f (x) = x + 5$ および $g (x) = x - 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) ((x + 5) \frac{d}{d x} (x - 7) + (x - 7) \frac{d}{d x} (x + 5)) - (x + 5) (x - 7) \frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

ステップ 2.4

微分します。

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ステップ 2.4.1

総和則では、 $x - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) ((x + 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 7)) + (x - 7) \frac{d}{d x} (x + 5)) - (x + 5) (x - 7) \frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

ステップ 2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) ((x + 5) (1 + \frac{d}{d x} (- 7)) + (x - 7) \frac{d}{d x} (x + 5)) - (x + 5) (x - 7) \frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

ステップ 2.4.3

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) ((x + 5) (1 + 0) + (x - 7) \frac{d}{d x} (x + 5)) - (x + 5) (x - 7) \frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

ステップ 2.4.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) ((x + 5) \cdot 1 + (x - 7) \frac{d}{d x} (x + 5)) - (x + 5) (x - 7) \frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

ステップ 2.4.4.2

$x + 5$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (x + 5 + (x - 7) \frac{d}{d x} (x + 5)) - (x + 5) (x - 7) \frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

ステップ 2.4.5

総和則では、 $x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (x + 5 + (x - 7) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5))) - (x + 5) (x - 7) \frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

ステップ 2.4.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (x + 5 + (x - 7) (1 + \frac{d}{d x} (5))) - (x + 5) (x - 7) \frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

ステップ 2.4.7

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (x + 5 + (x - 7) (1 + 0)) - (x + 5) (x - 7) \frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

ステップ 2.4.8

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (x + 5 + (x - 7) \cdot 1) - (x + 5) (x - 7) \frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

ステップ 2.4.8.2

$x - 7$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (x + 5 + x - 7) - (x + 5) (x - 7) \frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

ステップ 2.4.8.3

$x$ と $x$ をたし算します。

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (2 x + 5 - 7) - (x + 5) (x - 7) \frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

ステップ 2.4.8.4

$5$ から $7$ を引きます。

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (2 x - 2) - (x + 5) (x - 7) \frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

ステップ 2.4.9

総和則では、 $x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 105 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (2 x - 2) - (x + 5) (x - 7) (\frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 105 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

ステップ 2.4.10

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (2 x - 2) - (x + 5) (x - 7) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 105 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

ステップ 2.4.11

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (2 x - 2) - (x + 5) (x - 7) (3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 105 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

ステップ 2.4.12

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (2 x - 2) - (x + 5) (x - 7) (3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 105 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

ステップ 2.4.13

$2$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (2 x - 2) - (x + 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} (- 105 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

ステップ 2.4.14

$- 105$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 105 x$ の微分係数は $- 105 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (2 x - 2) - (x + 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

ステップ 2.4.15

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (2 x - 2) - (x + 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

ステップ 2.4.16

$- 105$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (2 x - 2) - (x + 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

ステップ 2.4.17

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (2 x - 2) - (x + 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105 + 0)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

ステップ 2.4.18

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.18.1

$3 x^{2} - 6 x - 105$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (2 x - 2) - (x + 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

ステップ 2.4.18.2

$3$ と $\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (2 x - 2) - (x + 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{3 ((x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (2 x - 2) - (x + 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{3 ((x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (2 x - 2) + (- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{3 ((x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (2 x - 2)) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (2 x - 2)$ を展開します。

$f'' (x) = \frac{3 (x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 2 - 3 x^{2} (2 x) - 3 x^{2} \cdot - 2 - 105 x (2 x) - 105 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{3} x + x^{3} \cdot - 2 - 3 x^{2} (2 x) - 3 x^{2} \cdot - 2 - 105 x (2 x) - 105 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.2.2

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.2.2.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{3 (2 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot - 2 - 3 x^{2} (2 x) - 3 x^{2} \cdot - 2 - 105 x (2 x) - 105 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.2.2.2

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.2.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

ステップ 2.5.3.1.2.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot - 2 - 3 x^{2} (2 x) - 3 x^{2} \cdot - 2 - 105 x (2 x) - 105 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.2.2.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} + x^{3} \cdot - 2 - 3 x^{2} (2 x) - 3 x^{2} \cdot - 2 - 105 x (2 x) - 105 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.2.3

$- 2$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 2 \cdot x^{3} - 3 x^{2} (2 x) - 3 x^{2} \cdot - 2 - 105 x (2 x) - 105 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.2.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 2 x^{3} - 3 \cdot (2 x^{2} x) - 3 x^{2} \cdot - 2 - 105 x (2 x) - 105 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.2.5

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.2.5.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 2 x^{3} - 3 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - 3 x^{2} \cdot - 2 - 105 x (2 x) - 105 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.2.5.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.2.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

ステップ 2.5.3.1.2.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 2 x^{3} - 3 \cdot (2 x^{1 + 2}) - 3 x^{2} \cdot - 2 - 105 x (2 x) - 105 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.2.5.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 2 x^{3} - 3 \cdot (2 x^{3}) - 3 x^{2} \cdot - 2 - 105 x (2 x) - 105 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.2.6

$- 3$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{3} - 3 x^{2} \cdot - 2 - 105 x (2 x) - 105 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.2.7

$- 2$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{3} + 6 x^{2} - 105 x (2 x) - 105 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.2.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{3} + 6 x^{2} - 105 \cdot (2 x \cdot x) - 105 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.2.9

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.2.9.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{3} + 6 x^{2} - 105 \cdot (2 (x \cdot x)) - 105 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.2.9.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{3} + 6 x^{2} - 105 \cdot (2 x^{2}) - 105 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.2.10

$- 105$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{3} + 6 x^{2} - 210 x^{2} - 105 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.2.11

$- 2$ に $- 105$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{3} + 6 x^{2} - 210 x^{2} + 210 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.2.12

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{3} + 6 x^{2} - 210 x^{2} + 210 x - 2 x - 1 \cdot - 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.2.13

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{3} + 6 x^{2} - 210 x^{2} + 210 x - 2 x + 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.3

$- 2 x^{3}$ から $6 x^{3}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} - 210 x^{2} + 210 x - 2 x + 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.4

$6 x^{2}$ から $210 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 204 x^{2} + 210 x - 2 x + 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.5

$210 x$ から $2 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 204 x^{2} + 208 x + 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.6

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4}) + 3 (- 8 x^{3}) + 3 (- 204 x^{2}) + 3 (208 x) + 3 \cdot 2 + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.7.1

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} + 3 (- 8 x^{3}) + 3 (- 204 x^{2}) + 3 (208 x) + 3 \cdot 2 + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.7.2

$- 8$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} + 3 (- 204 x^{2}) + 3 (208 x) + 3 \cdot 2 + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.7.3

$- 204$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 3 (208 x) + 3 \cdot 2 + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.7.4

$208$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 3 \cdot 2 + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.7.5

$3$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.8

$- 1$ に $5$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 ((- x - 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.9

分配法則（FOIL法）を使って $(- x - 5) (x - 7)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.9.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 ((- x (x - 7) - 5 (x - 7)) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.9.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 ((- x \cdot x - x \cdot - 7 - 5 (x - 7)) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.9.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 ((- x \cdot x - x \cdot - 7 - 5 x - 5 \cdot - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.10

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.10.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.10.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.10.1.1.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 ((- (x \cdot x) - x \cdot - 7 - 5 x - 5 \cdot - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.10.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 ((- x^{2} - x \cdot - 7 - 5 x - 5 \cdot - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.10.1.2

$- 7$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 ((- x^{2} + 7 x - 5 x - 5 \cdot - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.10.1.3

$- 5$ に $- 7$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 ((- x^{2} + 7 x - 5 x + 35) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.10.2

$7 x$ から $5 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 ((- x^{2} + 2 x + 35) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.11

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(- x^{2} + 2 x + 35) (3 x^{2} - 6 x - 105)$ を展開します。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} (- 6 x) - x^{2} \cdot - 105 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x (- 6 x) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.12

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.12.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 1 \cdot (3 x^{2} x^{2}) - x^{2} (- 6 x) - x^{2} \cdot - 105 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x (- 6 x) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.12.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.12.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 1 \cdot (3 (x^{2} x^{2})) - x^{2} (- 6 x) - x^{2} \cdot - 105 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x (- 6 x) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.12.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 1 \cdot (3 x^{2 + 2}) - x^{2} (- 6 x) - x^{2} \cdot - 105 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x (- 6 x) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.12.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 1 \cdot (3 x^{4}) - x^{2} (- 6 x) - x^{2} \cdot - 105 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x (- 6 x) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.12.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} - x^{2} (- 6 x) - x^{2} \cdot - 105 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x (- 6 x) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.12.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} - 1 \cdot (- 6 x^{2} x) - x^{2} \cdot - 105 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x (- 6 x) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.12.5

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.12.5.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} - 1 \cdot (- 6 (x \cdot x^{2})) - x^{2} \cdot - 105 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x (- 6 x) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.12.5.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.12.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

ステップ 2.5.3.1.12.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} - 1 \cdot (- 6 x^{1 + 2}) - x^{2} \cdot - 105 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x (- 6 x) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.12.5.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} - 1 \cdot (- 6 x^{3}) - x^{2} \cdot - 105 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x (- 6 x) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.12.6

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 6 x^{3} - x^{2} \cdot - 105 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x (- 6 x) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.12.7

$- 105$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 6 x^{3} + 105 x^{2} + 2 x (3 x^{2}) + 2 x (- 6 x) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.12.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 6 x^{3} + 105 x^{2} + 2 \cdot (3 x \cdot x^{2}) + 2 x (- 6 x) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.12.9

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.12.9.1

$x^{2}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 6 x^{3} + 105 x^{2} + 2 \cdot (3 (x^{2} x)) + 2 x (- 6 x) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.12.9.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.12.9.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

ステップ 2.5.3.1.12.9.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 6 x^{3} + 105 x^{2} + 2 \cdot (3 x^{2 + 1}) + 2 x (- 6 x) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.12.9.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 6 x^{3} + 105 x^{2} + 2 \cdot (3 x^{3}) + 2 x (- 6 x) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.12.10

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 6 x^{3} + 105 x^{2} + 6 x^{3} + 2 x (- 6 x) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.12.11

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 6 x^{3} + 105 x^{2} + 6 x^{3} + 2 \cdot (- 6 x \cdot x) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.12.12

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.12.12.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 6 x^{3} + 105 x^{2} + 6 x^{3} + 2 \cdot (- 6 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.12.12.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 6 x^{3} + 105 x^{2} + 6 x^{3} + 2 \cdot (- 6 x^{2}) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.12.13

$2$ に $- 6$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 6 x^{3} + 105 x^{2} + 6 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.12.14

$- 105$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 6 x^{3} + 105 x^{2} + 6 x^{3} - 12 x^{2} - 210 x + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.12.15

$3$ に $35$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 6 x^{3} + 105 x^{2} + 6 x^{3} - 12 x^{2} - 210 x + 105 x^{2} + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.12.16

$- 6$ に $35$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 6 x^{3} + 105 x^{2} + 6 x^{3} - 12 x^{2} - 210 x + 105 x^{2} - 210 x + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.12.17

$35$ に $- 105$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 6 x^{3} + 105 x^{2} + 6 x^{3} - 12 x^{2} - 210 x + 105 x^{2} - 210 x - 3675)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.13

$6 x^{3}$ と $6 x^{3}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 12 x^{3} + 105 x^{2} - 12 x^{2} - 210 x + 105 x^{2} - 210 x - 3675)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.14

$105 x^{2}$ から $12 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 12 x^{3} + 93 x^{2} - 210 x + 105 x^{2} - 210 x - 3675)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.15

$93 x^{2}$ と $105 x^{2}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 12 x^{3} + 198 x^{2} - 210 x - 210 x - 3675)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.16

$- 210 x$ から $210 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 12 x^{3} + 198 x^{2} - 420 x - 3675)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.17

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4}) + 3 (12 x^{3}) + 3 (198 x^{2}) + 3 (- 420 x) + 3 \cdot - 3675}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.18

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.18.1

$- 3$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 - 9 x^{4} + 3 (12 x^{3}) + 3 (198 x^{2}) + 3 (- 420 x) + 3 \cdot - 3675}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.18.2

$12$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 - 9 x^{4} + 36 x^{3} + 3 (198 x^{2}) + 3 (- 420 x) + 3 \cdot - 3675}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.18.3

$198$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 - 9 x^{4} + 36 x^{3} + 594 x^{2} + 3 (- 420 x) + 3 \cdot - 3675}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.18.4

$- 420$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 - 9 x^{4} + 36 x^{3} + 594 x^{2} - 1260 x + 3 \cdot - 3675}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.1.18.5

$3$ に $- 3675$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 - 9 x^{4} + 36 x^{3} + 594 x^{2} - 1260 x - 11025}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.2

$6 x^{4}$ から $9 x^{4}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 3 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 36 x^{3} + 594 x^{2} - 1260 x - 11025}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.3

$- 24 x^{3}$ と $36 x^{3}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 3 x^{4} + 12 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 594 x^{2} - 1260 x - 11025}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.4

$- 612 x^{2}$ と $594 x^{2}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 3 x^{4} + 12 x^{3} - 18 x^{2} + 624 x + 6 - 1260 x - 11025}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.5

$624 x$ から $1260 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 3 x^{4} + 12 x^{3} - 18 x^{2} - 636 x + 6 - 11025}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.6

$6$ から $11025$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 3 x^{4} + 12 x^{3} - 18 x^{2} - 636 x - 11019}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.4

$3$ を $- 3 x^{4} + 12 x^{3} - 18 x^{2} - 636 x - 11019$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1

$3$ を $- 3 x^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{3 (- x^{4}) + 12 x^{3} - 18 x^{2} - 636 x - 11019}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.4.2

$3$ を $12 x^{3}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{3 (- x^{4}) + 3 (4 x^{3}) - 18 x^{2} - 636 x - 11019}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.4.3

$3$ を $- 18 x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{3 (- x^{4}) + 3 (4 x^{3}) + 3 (- 6 x^{2}) - 636 x - 11019}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.4.4

$3$ を $- 636 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{3 (- x^{4}) + 3 (4 x^{3}) + 3 (- 6 x^{2}) + 3 (- 212 x) - 11019}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.4.5

$3$ を $- 11019$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{3 (- x^{4}) + 3 (4 x^{3}) + 3 (- 6 x^{2}) + 3 (- 212 x) + 3 (- 3673)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.4.6

$3$ を $3 (- x^{4}) + 3 (4 x^{3})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{3 (- x^{4} + 4 x^{3}) + 3 (- 6 x^{2}) + 3 (- 212 x) + 3 (- 3673)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.4.7

$3$ を $3 (- x^{4} + 4 x^{3}) + 3 (- 6 x^{2})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{3 (- x^{4} + 4 x^{3} - 6 x^{2}) + 3 (- 212 x) + 3 (- 3673)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.4.8

$3$ を $3 (- x^{4} + 4 x^{3} - 6 x^{2}) + 3 (- 212 x)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{3 (- x^{4} + 4 x^{3} - 6 x^{2} - 212 x) + 3 (- 3673)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.4.9

$3$ を $3 (- x^{4} + 4 x^{3} - 6 x^{2} - 212 x) + 3 (- 3673)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{3 (- x^{4} + 4 x^{3} - 6 x^{2} - 212 x - 3673)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.5

$- 1$ を $- x^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{3 (- (x^{4}) + 4 x^{3} - 6 x^{2} - 212 x - 3673)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.6

$- 1$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{3 (- (x^{4}) - (- 4 x^{3}) - 6 x^{2} - 212 x - 3673)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.7

$- 1$ を $- (x^{4}) - (- 4 x^{3})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{3 (- (x^{4} - 4 x^{3}) - 6 x^{2} - 212 x - 3673)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.8

$- 1$ を $- 6 x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{3 (- (x^{4} - 4 x^{3}) - (6 x^{2}) - 212 x - 3673)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.9

$- 1$ を $- (x^{4} - 4 x^{3}) - (6 x^{2})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{3 (- (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2}) - 212 x - 3673)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.10

$- 1$ を $- 212 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{3 (- (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2}) - (212 x) - 3673)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.11

$- 1$ を $- (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2}) - (212 x)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{3 (- (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} + 212 x) - 3673)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.12

$- 3673$ を $- 1 (3673)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{3 (- (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} + 212 x) - 1 \cdot 3673)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.13

$- 1$ を $- (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} + 212 x) - 1 (3673)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{3 (- (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} + 212 x + 3673))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.14

$- (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} + 212 x + 3673)$ を $- 1 (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} + 212 x + 3673)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{3 (- 1 (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} + 212 x + 3673))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5.15

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{3 (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} + 212 x + 3673)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{3 (x + 5) (x - 7)}{x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1]$

ステップ 4.1.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1]$

ステップ 4.1.1.3

$u$ のすべての発生を $- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1]$

ステップ 4.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

総和則では、 $- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [105 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [105 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 4.1.2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [105 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 4.1.2.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [105 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 4.1.2.4

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [105 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 4.1.2.5

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [105 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 4.1.2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [105 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 4.1.2.7

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [105 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 4.1.2.8

$105$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $105 x$ の微分係数は $105 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 105 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 4.1.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 105 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 4.1.2.10

$105$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 105 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 4.1.2.11

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 105 + 0)$

ステップ 4.1.2.12

$- 3 x^{2} + 6 x + 105$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 105)$

ステップ 4.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 105)$ の因数を並べ替えます。

$(- 3 x^{2} + 6 x + 105) \frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

ステップ 4.1.3.2

$- 3 x^{2} + 6 x + 105$ に $\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$ をかけます。

$\frac{- 3 x^{2} + 6 x + 105}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

ステップ 4.1.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.3.1

$3$ を $- 3 x^{2} + 6 x + 105$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.3.1.1

$3$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2}) + 6 x + 105}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

ステップ 4.1.3.3.1.2

$3$ を $6 x$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 105}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

ステップ 4.1.3.3.1.3

$3$ を $105$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 (35)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

ステップ 4.1.3.3.1.4

$3$ を $3 (- x^{2}) + 3 (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (35)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

ステップ 4.1.3.3.1.5

$3$ を $3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (35)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2} + 2 x + 35)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

ステップ 4.1.3.3.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.3.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 35 = - 35$ で和が $b = 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.3.2.1.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2} + 2 (x) + 35)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

ステップ 4.1.3.3.2.1.2

$2$ を $- 5$ プラス $7$ に書き換える

$\frac{3 (- x^{2} + (- 5 + 7) x + 35)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

ステップ 4.1.3.3.2.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (- x^{2} - 5 x + 7 x + 35)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

ステップ 4.1.3.3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.3.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{3 ((- x^{2} - 5 x) + 7 x + 35)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

ステップ 4.1.3.3.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{3 (x (- x - 5) - 7 (- x - 5))}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

ステップ 4.1.3.3.2.3

最大公約数 $- x - 5$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{3 ((- x - 5) (x - 7))}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

$\frac{3 (- x - 5) (x - 7)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

ステップ 4.1.3.4

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (x) - 5) (x - 7)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

ステップ 4.1.3.5

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$\frac{3 (- (x) - 1 (5)) (x - 7)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

ステップ 4.1.3.6

$- 1$ を $- (x) - 1 (5)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (x + 5)) (x - 7)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

ステップ 4.1.3.7

$- (x + 5)$ を $- 1 (x + 5)$ に書き換えます。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

ステップ 4.1.3.8

$- 1$ を $- x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- (x^{3}) + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

ステップ 4.1.3.9

$- 1$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- (x^{3}) - (- 3 x^{2}) + 105 x + 1}$

ステップ 4.1.3.10

$- 1$ を $- (x^{3}) - (- 3 x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- (x^{3} - 3 x^{2}) + 105 x + 1}$

ステップ 4.1.3.11

$- 1$ を $105 x$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- (x^{3} - 3 x^{2}) - (- 105 x) + 1}$

ステップ 4.1.3.12

$- 1$ を $- (x^{3} - 3 x^{2}) - (- 105 x)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x) + 1}$

ステップ 4.1.3.13

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x) - 1 (- 1)}$

ステップ 4.1.3.14

$- 1$ を $- (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}$

ステップ 4.1.3.15

$- (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)$ を $- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}$

ステップ 4.1.3.16

共通因数を約分します。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}$

ステップ 4.1.3.17

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{3 (x + 5) (x - 7)}{x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{3 (x + 5) (x - 7)}{x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1}$ です。

$\frac{3 (x + 5) (x - 7)}{x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{3 (x + 5) (x - 7)}{x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{3 (x + 5) (x - 7)}{x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$3 (x + 5) (x - 7) = 0$

ステップ 5.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 5 = 0$

$x - 7 = 0$

ステップ 5.3.2

$x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 5.3.2.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 5.3.3

$x - 7$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$x - 7$ が $0$ に等しいとします。

$x - 7 = 0$

ステップ 5.3.3.2

方程式の両辺に $7$ を足します。

$x = 7$

ステップ 5.3.4

最終解は $3 (x + 5) (x - 7) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 5, 7$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{3 (x + 5) (x - 7)}{x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1 = 0$

ステップ 6.2

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x \approx - 8.85070116, - 0.00952641, 11.86022757$

ステップ 6.3

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x = - 8.85070116, x = - 0.00952641, x = 11.86022757$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 7, - 8.85070116$

ステップ 8

$x = 7$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{3 ({(7)}^{4} - 4 {(7)}^{3} + 6 {(7)}^{2} + 212 (7) + 3673)}{{({(7)}^{3} - 3 {(7)}^{2} - 105 \cdot 7 - 1)}^{2}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$7$ を $4$ 乗します。

$- \frac{3 (2401 - 4 \cdot 7^{3} + 6 \cdot 7^{2} + 212 (7) + 3673)}{{(7^{3} - 3 \cdot 7^{2} - 105 \cdot 7 - 1)}^{2}}$

ステップ 9.1.2

$7$ を $3$ 乗します。

$- \frac{3 (2401 - 4 \cdot 343 + 6 \cdot 7^{2} + 212 (7) + 3673)}{{(7^{3} - 3 \cdot 7^{2} - 105 \cdot 7 - 1)}^{2}}$

ステップ 9.1.3

$- 4$ に $343$ をかけます。

$- \frac{3 (2401 - 1372 + 6 \cdot 7^{2} + 212 (7) + 3673)}{{(7^{3} - 3 \cdot 7^{2} - 105 \cdot 7 - 1)}^{2}}$

ステップ 9.1.4

$7$ を $2$ 乗します。

$- \frac{3 (2401 - 1372 + 6 \cdot 49 + 212 (7) + 3673)}{{(7^{3} - 3 \cdot 7^{2} - 105 \cdot 7 - 1)}^{2}}$

ステップ 9.1.5

$6$ に $49$ をかけます。

$- \frac{3 (2401 - 1372 + 294 + 212 (7) + 3673)}{{(7^{3} - 3 \cdot 7^{2} - 105 \cdot 7 - 1)}^{2}}$

ステップ 9.1.6

$212$ に $7$ をかけます。

$- \frac{3 (2401 - 1372 + 294 + 1484 + 3673)}{{(7^{3} - 3 \cdot 7^{2} - 105 \cdot 7 - 1)}^{2}}$

ステップ 9.1.7

$2401$ から $1372$ を引きます。

$- \frac{3 (1029 + 294 + 1484 + 3673)}{{(7^{3} - 3 \cdot 7^{2} - 105 \cdot 7 - 1)}^{2}}$

ステップ 9.1.8

$1029$ と $294$ をたし算します。

$- \frac{3 (1323 + 1484 + 3673)}{{(7^{3} - 3 \cdot 7^{2} - 105 \cdot 7 - 1)}^{2}}$

ステップ 9.1.9

$1323$ と $1484$ をたし算します。

$- \frac{3 (2807 + 3673)}{{(7^{3} - 3 \cdot 7^{2} - 105 \cdot 7 - 1)}^{2}}$

ステップ 9.1.10

$2807$ と $3673$ をたし算します。

$- \frac{3 \cdot 6480}{{(7^{3} - 3 \cdot 7^{2} - 105 \cdot 7 - 1)}^{2}}$

ステップ 9.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$7$ を $3$ 乗します。

$- \frac{3 \cdot 6480}{{(343 - 3 \cdot 7^{2} - 105 \cdot 7 - 1)}^{2}}$

ステップ 9.2.2

$7$ を $2$ 乗します。

$- \frac{3 \cdot 6480}{{(343 - 3 \cdot 49 - 105 \cdot 7 - 1)}^{2}}$

ステップ 9.2.3

$- 3$ に $49$ をかけます。

$- \frac{3 \cdot 6480}{{(343 - 147 - 105 \cdot 7 - 1)}^{2}}$

ステップ 9.2.4

$- 105$ に $7$ をかけます。

$- \frac{3 \cdot 6480}{{(343 - 147 - 735 - 1)}^{2}}$

ステップ 9.2.5

$343$ から $147$ を引きます。

$- \frac{3 \cdot 6480}{{(196 - 735 - 1)}^{2}}$

ステップ 9.2.6

$196$ から $735$ を引きます。

$- \frac{3 \cdot 6480}{{(- 539 - 1)}^{2}}$

ステップ 9.2.7

$- 539$ から $1$ を引きます。

$- \frac{3 \cdot 6480}{{(- 540)}^{2}}$

ステップ 9.2.8

$- 540$ を $2$ 乗します。

$- \frac{3 \cdot 6480}{291600}$

ステップ 9.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$3$ に $6480$ をかけます。

$- \frac{19440}{291600}$

ステップ 9.3.2

$19440$ と $291600$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.1

$19440$ を $19440$ で因数分解します。

$- \frac{19440 (1)}{291600}$

ステップ 9.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.2.1

$19440$ を $291600$ で因数分解します。

$- \frac{19440 \cdot 1}{19440 \cdot 15}$

ステップ 9.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{19440 \cdot 1}{19440 \cdot 15}$

ステップ 9.3.2.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{15}$

ステップ 10

$x = 7$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 7$ は極大値です

ステップ 11

$x = 7$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $7$ で置換えます。

$f (7) = \ln (- {(7)}^{3} + 3 {(7)}^{2} + 105 (7) + 1)$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$7$ を $3$ 乗します。

$f (7) = \ln (- 1 \cdot 343 + 3 {(7)}^{2} + 105 (7) + 1)$

ステップ 11.2.1.2

$- 1$ に $343$ をかけます。

$f (7) = \ln (- 343 + 3 {(7)}^{2} + 105 (7) + 1)$

ステップ 11.2.1.3

$7$ を $2$ 乗します。

$f (7) = \ln (- 343 + 3 \cdot 49 + 105 (7) + 1)$

ステップ 11.2.1.4

$3$ に $49$ をかけます。

$f (7) = \ln (- 343 + 147 + 105 (7) + 1)$

ステップ 11.2.1.5

$105$ に $7$ をかけます。

$f (7) = \ln (- 343 + 147 + 735 + 1)$

ステップ 11.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$- 343$ と $147$ をたし算します。

$f (7) = \ln (- 196 + 735 + 1)$

ステップ 11.2.2.2

$- 196$ と $735$ をたし算します。

$f (7) = \ln (539 + 1)$

ステップ 11.2.2.3

$539$ と $1$ をたし算します。

$f (7) = \ln (540)$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $\ln (540)$ です。

$y = \ln (540)$

ステップ 12

$x = - 8.85070116$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{3 ({(- 8.85070116)}^{4} - 4 {(- 8.85070116)}^{3} + 6 {(- 8.85070116)}^{2} + 212 (- 8.85070116) + 3673)}{{({(- 8.85070116)}^{3} - 3 {(- 8.85070116)}^{2} - 105 \cdot - 8.85070116 - 1)}^{2}}$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$- 8.85070116$ を $3$ 乗します。

$- \frac{3 ({(- 8.85070116)}^{4} - 4 {(- 8.85070116)}^{3} + 6 {(- 8.85070116)}^{2} + 212 (- 8.85070116) + 3673)}{{(- 693.31888897 - 3 {(- 8.85070116)}^{2} - 105 \cdot - 8.85070116 - 1)}^{2}}$

ステップ 13.1.2

$- 8.85070116$ を $2$ 乗します。

$- \frac{3 ({(- 8.85070116)}^{4} - 4 {(- 8.85070116)}^{3} + 6 {(- 8.85070116)}^{2} + 212 (- 8.85070116) + 3673)}{{(- 693.31888897 - 3 \cdot 78.3349111 - 105 \cdot - 8.85070116 - 1)}^{2}}$

ステップ 13.1.3

$- 3$ に $78.3349111$ をかけます。

$- \frac{3 ({(- 8.85070116)}^{4} - 4 {(- 8.85070116)}^{3} + 6 {(- 8.85070116)}^{2} + 212 (- 8.85070116) + 3673)}{{(- 693.31888897 - 235.00473332 - 105 \cdot - 8.85070116 - 1)}^{2}}$

ステップ 13.1.4

$- 105$ に $- 8.85070116$ をかけます。

$- \frac{3 ({(- 8.85070116)}^{4} - 4 {(- 8.85070116)}^{3} + 6 {(- 8.85070116)}^{2} + 212 (- 8.85070116) + 3673)}{{(- 693.31888897 - 235.00473332 + 929.32362229 - 1)}^{2}}$

ステップ 13.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

$- 693.31888897$ から $235.00473332$ を引きます。

$- \frac{3 ({(- 8.85070116)}^{4} - 4 {(- 8.85070116)}^{3} + 6 {(- 8.85070116)}^{2} + 212 (- 8.85070116) + 3673)}{{(- 928.32362229 + 929.32362229 - 1)}^{2}}$

ステップ 13.2.2

$- 928.32362229$ と $929.32362229$ をたし算します。

$- \frac{3 ({(- 8.85070116)}^{4} - 4 {(- 8.85070116)}^{3} + 6 {(- 8.85070116)}^{2} + 212 (- 8.85070116) + 3673)}{{(0.99999999 - 1)}^{2}}$

ステップ 13.2.3

$0.99999999$ から $1$ を引きます。

$- \frac{3 ({(- 8.85070116)}^{4} - 4 {(- 8.85070116)}^{3} + 6 {(- 8.85070116)}^{2} + 212 (- 8.85070116) + 3673)}{{(0)}^{2}}$

ステップ 13.2.4

$0$ を $2$ 乗します。

$- \frac{3 ({(- 8.85070116)}^{4} - 4 {(- 8.85070116)}^{3} + 6 {(- 8.85070116)}^{2} + 212 (- 8.85070116) + 3673)}{0}$

ステップ 13.2.5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$- \frac{3 ({(- 8.85070116)}^{4} - 4 {(- 8.85070116)}^{3} + 6 {(- 8.85070116)}^{2} + 212 (- 8.85070116) + 3673)}{0}$

ステップ 13.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 14

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 8.85070116) \cup (- 8.85070116, 7) \cup (7, \infty)$

ステップ 14.2

一次導関数 $\frac{3 (x + 5) (x - 7)}{x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1}$ の区間 $(- \infty, - 8.85070116)$ から $- 11$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

式の変数 $x$ を $- 11$ で置換えます。

$f' (- 11) = \frac{3 ((- 11) + 5) ((- 11) - 7)}{{(- 11)}^{3} - 3 {(- 11)}^{2} - 105 \cdot - 11 - 1}$

ステップ 14.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.2.1.1

$- 11$ と $5$ をたし算します。

$f' (- 11) = \frac{3 \cdot (- 6 (- 11 - 7))}{{(- 11)}^{3} - 3 {(- 11)}^{2} - 105 \cdot - 11 - 1}$

ステップ 14.2.2.1.2

$3$ に $- 6$ をかけます。

$f' (- 11) = \frac{- 18 (- 11 - 7)}{{(- 11)}^{3} - 3 {(- 11)}^{2} - 105 \cdot - 11 - 1}$

ステップ 14.2.2.1.3

$- 11$ から $7$ を引きます。

$f' (- 11) = \frac{- 18 \cdot - 18}{{(- 11)}^{3} - 3 {(- 11)}^{2} - 105 \cdot - 11 - 1}$

ステップ 14.2.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.2.2.1

$- 11$ を $3$ 乗します。

$f' (- 11) = \frac{- 18 \cdot - 18}{- 1331 - 3 {(- 11)}^{2} - 105 \cdot - 11 - 1}$

ステップ 14.2.2.2.2

$- 11$ を $2$ 乗します。

$f' (- 11) = \frac{- 18 \cdot - 18}{- 1331 - 3 \cdot 121 - 105 \cdot - 11 - 1}$

ステップ 14.2.2.2.3

$- 3$ に $121$ をかけます。

$f' (- 11) = \frac{- 18 \cdot - 18}{- 1331 - 363 - 105 \cdot - 11 - 1}$

ステップ 14.2.2.2.4

$- 105$ に $- 11$ をかけます。

$f' (- 11) = \frac{- 18 \cdot - 18}{- 1331 - 363 + 1155 - 1}$

ステップ 14.2.2.2.5

$- 1331$ から $363$ を引きます。

$f' (- 11) = \frac{- 18 \cdot - 18}{- 1694 + 1155 - 1}$

ステップ 14.2.2.2.6

$- 1694$ と $1155$ をたし算します。

$f' (- 11) = \frac{- 18 \cdot - 18}{- 539 - 1}$

ステップ 14.2.2.2.7

$- 539$ から $1$ を引きます。

$f' (- 11) = \frac{- 18 \cdot - 18}{- 540}$

ステップ 14.2.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.2.3.1

$- 18$ に $- 18$ をかけます。

$f' (- 11) = \frac{324}{- 540}$

ステップ 14.2.2.3.2

$324$ と $- 540$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.2.3.2.1

$108$ を $324$ で因数分解します。

$f' (- 11) = \frac{108 (3)}{- 540}$

ステップ 14.2.2.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.2.3.2.2.1

$108$ を $- 540$ で因数分解します。

$f' (- 11) = \frac{108 \cdot 3}{108 \cdot - 5}$

ステップ 14.2.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$f' (- 11) = \frac{108 \cdot 3}{108 \cdot - 5}$

ステップ 14.2.2.3.2.2.3

式を書き換えます。

$f' (- 11) = \frac{3}{- 5}$

ステップ 14.2.2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 11) = - \frac{3}{5}$

ステップ 14.2.2.4

最終的な答えは $- \frac{3}{5}$ です。

$- \frac{3}{5}$

ステップ 14.3

一次導関数 $\frac{3 (x + 5) (x - 7)}{x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1}$ の区間 $(- 8.85070116, 7)$ から $- 4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f' (- 4) = \frac{3 ((- 4) + 5) ((- 4) - 7)}{{(- 4)}^{3} - 3 {(- 4)}^{2} - 105 \cdot - 4 - 1}$

ステップ 14.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.2.1.1

$- 4$ と $5$ をたし算します。

$f' (- 4) = \frac{3 \cdot (1 (- 4 - 7))}{{(- 4)}^{3} - 3 {(- 4)}^{2} - 105 \cdot - 4 - 1}$

ステップ 14.3.2.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f' (- 4) = \frac{3 (- 4 - 7)}{{(- 4)}^{3} - 3 {(- 4)}^{2} - 105 \cdot - 4 - 1}$

ステップ 14.3.2.1.3

$- 4$ から $7$ を引きます。

$f' (- 4) = \frac{3 \cdot - 11}{{(- 4)}^{3} - 3 {(- 4)}^{2} - 105 \cdot - 4 - 1}$

ステップ 14.3.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.2.2.1

$- 4$ を $3$ 乗します。

$f' (- 4) = \frac{3 \cdot - 11}{- 64 - 3 {(- 4)}^{2} - 105 \cdot - 4 - 1}$

ステップ 14.3.2.2.2

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f' (- 4) = \frac{3 \cdot - 11}{- 64 - 3 \cdot 16 - 105 \cdot - 4 - 1}$

ステップ 14.3.2.2.3

$- 3$ に $16$ をかけます。

$f' (- 4) = \frac{3 \cdot - 11}{- 64 - 48 - 105 \cdot - 4 - 1}$

ステップ 14.3.2.2.4

$- 105$ に $- 4$ をかけます。

$f' (- 4) = \frac{3 \cdot - 11}{- 64 - 48 + 420 - 1}$

ステップ 14.3.2.2.5

$- 64$ から $48$ を引きます。

$f' (- 4) = \frac{3 \cdot - 11}{- 112 + 420 - 1}$

ステップ 14.3.2.2.6

$- 112$ と $420$ をたし算します。

$f' (- 4) = \frac{3 \cdot - 11}{308 - 1}$

ステップ 14.3.2.2.7

$308$ から $1$ を引きます。

$f' (- 4) = \frac{3 \cdot - 11}{307}$

ステップ 14.3.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.2.3.1

$3$ に $- 11$ をかけます。

$f' (- 4) = \frac{- 33}{307}$

ステップ 14.3.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 4) = - \frac{33}{307}$

ステップ 14.3.2.4

最終的な答えは $- \frac{33}{307}$ です。

$- \frac{33}{307}$

ステップ 14.4

一次導関数 $\frac{3 (x + 5) (x - 7)}{x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1}$ の区間 $(7, \infty)$ から $9$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.1

式の変数 $x$ を $9$ で置換えます。

$f' (9) = \frac{3 ((9) + 5) ((9) - 7)}{{(9)}^{3} - 3 {(9)}^{2} - 105 \cdot 9 - 1}$

ステップ 14.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.2.1.1

$9$ と $5$ をたし算します。

$f' (9) = \frac{3 \cdot (14 (9 - 7))}{9^{3} - 3 \cdot 9^{2} - 105 \cdot 9 - 1}$

ステップ 14.4.2.1.2

$3$ に $14$ をかけます。

$f' (9) = \frac{42 (9 - 7)}{9^{3} - 3 \cdot 9^{2} - 105 \cdot 9 - 1}$

ステップ 14.4.2.1.3

$9$ から $7$ を引きます。

$f' (9) = \frac{42 \cdot 2}{9^{3} - 3 \cdot 9^{2} - 105 \cdot 9 - 1}$

ステップ 14.4.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.2.2.1

$9$ を $3$ 乗します。

$f' (9) = \frac{42 \cdot 2}{729 - 3 \cdot 9^{2} - 105 \cdot 9 - 1}$

ステップ 14.4.2.2.2

$9$ を $2$ 乗します。

$f' (9) = \frac{42 \cdot 2}{729 - 3 \cdot 81 - 105 \cdot 9 - 1}$

ステップ 14.4.2.2.3

$- 3$ に $81$ をかけます。

$f' (9) = \frac{42 \cdot 2}{729 - 243 - 105 \cdot 9 - 1}$

ステップ 14.4.2.2.4

$- 105$ に $9$ をかけます。

$f' (9) = \frac{42 \cdot 2}{729 - 243 - 945 - 1}$

ステップ 14.4.2.2.5

$729$ から $243$ を引きます。

$f' (9) = \frac{42 \cdot 2}{486 - 945 - 1}$

ステップ 14.4.2.2.6

$486$ から $945$ を引きます。

$f' (9) = \frac{42 \cdot 2}{- 459 - 1}$

ステップ 14.4.2.2.7

$- 459$ から $1$ を引きます。

$f' (9) = \frac{42 \cdot 2}{- 460}$

ステップ 14.4.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.2.3.1

$42$ に $2$ をかけます。

$f' (9) = \frac{84}{- 460}$

ステップ 14.4.2.3.2

$84$ と $- 460$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.2.3.2.1

$4$ を $84$ で因数分解します。

$f' (9) = \frac{4 (21)}{- 460}$

ステップ 14.4.2.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.2.3.2.2.1

$4$ を $- 460$ で因数分解します。

$f' (9) = \frac{4 \cdot 21}{4 \cdot - 115}$

ステップ 14.4.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$f' (9) = \frac{4 \cdot 21}{4 \cdot - 115}$

ステップ 14.4.2.3.2.2.3

式を書き換えます。

$f' (9) = \frac{21}{- 115}$

ステップ 14.4.2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (9) = - \frac{21}{115}$

ステップ 14.4.2.4

最終的な答えは $- \frac{21}{115}$ です。

$- \frac{21}{115}$

ステップ 14.5

$x = - 8.85070116$ の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。

極大値または極小値ではありません

ステップ 14.6

$f (x) = \ln (- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1)$ における極大値または極小値は求められません。

極大値または極小値はありません

ステップ 15

微分積分 例

微分積分例