微分積分例

$f (x) = a x - 3 x \ln (x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $a x - 3 x \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [a x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$a$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $a x$ の微分係数は $a \frac{d}{d x} [x]$ です。

$a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

ステップ 1.2.3

$a$ に $1$ をかけます。

$a + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x \ln (x)$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ です。

$a - 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

ステップ 1.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$a - 3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

ステップ 1.3.5

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

ステップ 1.3.6

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

共通因数を約分します。

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

ステップ 1.3.6.2

式を書き換えます。

$a - 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

ステップ 1.3.7

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$a - 3 (1 + \ln (x))$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

分配則を当てはめます。

$a - 3 \cdot 1 - 3 \ln (x)$

ステップ 1.4.2

$- 3$ に $1$ をかけます。

$a - 3 - 3 \ln (x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $a - 3 - 3 \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (a) + \frac{d}{d x} (- 3) + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

ステップ 2.1.2

$a$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $a$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 3) + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

ステップ 2.1.3

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 0 + 0 + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 \ln (x)$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$f'' (x) = 0 + 0 - 3 \frac{d}{d x} \ln (x)$

ステップ 2.2.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$f'' (x) = 0 + 0 - 3 \frac{1}{x}$

ステップ 2.2.3

$- 3$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$f'' (x) = 0 + 0 + \frac{- 3}{x}$

ステップ 2.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = 0 + 0 - \frac{3}{x}$

ステップ 2.3

項をまとめます。

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ステップ 2.3.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 0 - \frac{3}{x}$

ステップ 2.3.2

$0$ から $\frac{3}{x}$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{3}{x}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$a - 3 - 3 \ln (x) = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $a x - 3 x \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [a x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$a$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $a x$ の微分係数は $a \frac{d}{d x} [x]$ です。

$a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

ステップ 4.1.2.3

$a$ に $1$ をかけます。

$a + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x \ln (x)$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ です。

$a - 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

ステップ 4.1.3.2

$a - 3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.3.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

ステップ 4.1.3.5

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

ステップ 4.1.3.6

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.3.6.1

共通因数を約分します。

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

ステップ 4.1.3.6.2

式を書き換えます。

$a - 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

ステップ 4.1.3.7

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$a - 3 (1 + \ln (x))$

ステップ 4.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

分配則を当てはめます。

$a - 3 \cdot 1 - 3 \ln (x)$

ステップ 4.1.4.2

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = a - 3 - 3 \ln (x)$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $a - 3 - 3 \ln (x)$ です。

$a - 3 - 3 \ln (x)$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $a - 3 - 3 \ln (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$a - 3 - 3 \ln (x) = 0$

ステップ 5.2

$\ln (x)$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $a$ を引きます。

$- 3 - 3 \ln (x) = - a$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$- 3 \ln (x) = - a + 3$

ステップ 5.3

$- 3 \ln (x) = - a + 3$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$- 3 \ln (x) = - a + 3$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- a}{- 3} + \frac{3}{- 3}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- a}{- 3} + \frac{3}{- 3}$

ステップ 5.3.2.1.2

$\ln (x)$ を $1$ で割ります。

$\ln (x) = \frac{- a}{- 3} + \frac{3}{- 3}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\ln (x) = \frac{a}{3} + \frac{3}{- 3}$

ステップ 5.3.3.1.2

$3$ を $- 3$ で割ります。

$\ln (x) = \frac{a}{3} - 1$

ステップ 5.4

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{a}{3} - 1}$

ステップ 5.5

対数の定義を利用して $\ln (x) = \frac{a}{3} - 1$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{\frac{a}{3} - 1} = x$

ステップ 5.6

方程式を $x = e^{\frac{a}{3} - 1}$ として書き換えます。

$x = e^{\frac{a}{3} - 1}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

$\ln (x)$ の偏角を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x \leq 0$

ステップ 6.2

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = e^{\frac{a}{3} - 1}$

ステップ 8

$x = e^{\frac{a}{3} - 1}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{3}{e^{\frac{a}{3} - 1}}$

ステップ 9

分母を簡約します。

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ステップ 9.1

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- \frac{3}{e^{\frac{a}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}$

ステップ 9.2

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$- \frac{3}{e^{\frac{a}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}$

ステップ 9.3

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{3}{e^{\frac{a - 1 \cdot 3}{3}}}$

ステップ 9.4

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- \frac{3}{e^{\frac{a - 3}{3}}}$

ステップ 10

一次導関数検定ができなかったので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例