微分積分例

$f (x) = \arctan (x^{5})$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = x^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{5}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 1.1.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{5}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(x^{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 1.2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

${(x^{5})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{1 + x^{5 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 1.2.1.2

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{1 + x^{10}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + x^{10}} (5 x^{4})$

ステップ 1.2.3

分数をまとめます。

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ステップ 1.2.3.1

$5$ と $\frac{1}{1 + x^{10}}$ をまとめます。

$\frac{5}{1 + x^{10}} x^{4}$

ステップ 1.2.3.2

$\frac{5}{1 + x^{10}}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{5 x^{4}}{1 + x^{10}}$

ステップ 1.2.3.3

項を並べ替えます。

$\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x^{10} + 1}]$ です。

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (\frac{x^{4}}{x^{10} + 1})$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = x^{10} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 5 (\frac{(x^{10} + 1) \frac{d}{d x} (x^{4}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{10} + 1)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.3

微分します。

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ステップ 2.3.1

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 5 (\frac{(x^{10} + 1) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{10} + 1)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.3.2

$4$ を $x^{10} + 1$ の左に移動させます。

$f'' (x) = 5 (\frac{4 \cdot ((x^{10} + 1) x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{10} + 1)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.3.3

総和則では、 $x^{10} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{10}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} (x^{10}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.3.4

$n = 10$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (10 x^{9} + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (10 x^{9} + 0)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.3.6

式を簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

$10 x^{9}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (10 x^{9})}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.3.6.2

$10$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{4} x^{9}}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.4

指数を足して $x^{4}$ に $x^{9}$ を掛けます。

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ステップ 2.4.1

$x^{9}$ を移動させます。

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 (x^{9} x^{4})}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{9 + 4}}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.4.3

$9$ と $4$ をたし算します。

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{13}}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.5

$5$ と $\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{13}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{5 (4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{5 ((4 x^{10} + 4 \cdot 1) x^{3} - 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{10} x^{3} + 4 \cdot (1 x^{3}) - 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{10} x^{3}) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6.4

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.6.4.1.1

指数を足して $x^{10}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.1.1.1

$x^{3}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{5 (4 (x^{3} x^{10})) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6.4.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{3 + 10}) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6.4.1.1.3

$3$ と $10$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{13}) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6.4.1.2

$4$ に $5$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6.4.1.3

$4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6.4.1.4

$4$ に $5$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 20 x^{3} + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6.4.1.5

$- 10$ に $5$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 20 x^{3} - 50 x^{13}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6.4.2

$20 x^{13}$ から $50 x^{13}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 30 x^{13} + 20 x^{3}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6.5

$10 x^{3}$ を $- 30 x^{13} + 20 x^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 2.6.5.1

$10 x^{3}$ を $- 30 x^{13}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 3 x^{10}) + 20 x^{3}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6.5.2

$10 x^{3}$ を $20 x^{3}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 3 x^{10}) + 10 x^{3} (2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6.5.3

$10 x^{3}$ を $10 x^{3} (- 3 x^{10}) + 10 x^{3} (2)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 3 x^{10} + 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6.6

$- 1$ を $- 3 x^{10}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- (3 x^{10}) + 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6.7

$2$ を $- 1 (- 2)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- (3 x^{10}) - 1 \cdot - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6.8

$- 1$ を $- (3 x^{10}) - 1 (- 2)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- (3 x^{10} - 2))}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6.9

$- (3 x^{10} - 2)$ を $- 1 (3 x^{10} - 2)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 1 (3 x^{10} - 2))}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6.10

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{(10 x^{3}) (3 x^{10} - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6.11

$- \frac{(10 x^{3}) (3 x^{10} - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = - \frac{10 x^{3} (3 x^{10} - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1} = 0$

ステップ 4

分子を0に等しくします。

$5 x^{4} = 0$

ステップ 5

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 5.1

$5 x^{4} = 0$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1.1

$5 x^{4} = 0$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 x^{4}}{5} = \frac{0}{5}$

ステップ 5.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x^{4}}{5} = \frac{0}{5}$

ステップ 5.1.2.1.2

$x^{4}$ を $1$ で割ります。

$x^{4} = \frac{0}{5}$

ステップ 5.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.1.3.1

$0$ を $5$ で割ります。

$x^{4} = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

ステップ 5.3

$\pm \sqrt[4]{0}$ を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$0$ を $0^{4}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

ステップ 5.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 5.3.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 6

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{10 {(0)}^{3} (3 {(0)}^{10} - 2)}{{({(0)}^{10} + 1)}^{2}}$

ステップ 7

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{10 \cdot 0^{3} (3 \cdot 0 - 2)}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$- \frac{10 \cdot 0^{3} (0 - 2)}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.1.3

$0$ から $2$ を引きます。

$- \frac{10 \cdot 0^{3} \cdot - 2}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.1.4

$- 2$ に $10$ をかけます。

$- \frac{- 20 \cdot 0^{3}}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.1.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{- 20 \cdot 0}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.2

分母を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{- 20 \cdot 0}{{(0 + 1)}^{2}}$

ステップ 7.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{- 20 \cdot 0}{1^{2}}$

ステップ 7.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{- 20 \cdot 0}{1}$

ステップ 7.3

式を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$- 20$ に $0$ をかけます。

$- \frac{0}{1}$

ステップ 7.3.2

$0$ を $1$ で割ります。

$- 0$

ステップ 7.3.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 8

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

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ステップ 8.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 8.2

一次導関数 $\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$ の区間 $(- \infty, 0)$ から $- 2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 8.2.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = \frac{5 {(- 2)}^{4}}{{(- 2)}^{10} + 1}$

ステップ 8.2.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$- 2$ を $4$ 乗します。

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{{(- 2)}^{10} + 1}$

ステップ 8.2.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.2.1

$- 2$ を $10$ 乗します。

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{1024 + 1}$

ステップ 8.2.2.2.2

$1024$ と $1$ をたし算します。

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{1025}$

ステップ 8.2.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.3.1

$5$ に $16$ をかけます。

$f' (- 2) = \frac{80}{1025}$

ステップ 8.2.2.3.2

$80$ と $1025$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.3.2.1

$5$ を $80$ で因数分解します。

$f' (- 2) = \frac{5 (16)}{1025}$

ステップ 8.2.2.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.3.2.2.1

$5$ を $1025$ で因数分解します。

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

ステップ 8.2.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

ステップ 8.2.2.3.2.2.3

式を書き換えます。

$f' (- 2) = \frac{16}{205}$

ステップ 8.2.2.4

最終的な答えは $\frac{16}{205}$ です。

$\frac{16}{205}$

ステップ 8.3

一次導関数 $\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$ の区間 $(0, \infty)$ から $2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 8.3.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = \frac{5 {(2)}^{4}}{{(2)}^{10} + 1}$

ステップ 8.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.3.2.1

$2$ を $4$ 乗します。

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{2^{10} + 1}$

ステップ 8.3.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.2.1

$2$ を $10$ 乗します。

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{1024 + 1}$

ステップ 8.3.2.2.2

$1024$ と $1$ をたし算します。

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{1025}$

ステップ 8.3.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.3.1

$5$ に $16$ をかけます。

$f' (2) = \frac{80}{1025}$

ステップ 8.3.2.3.2

$80$ と $1025$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.3.2.1

$5$ を $80$ で因数分解します。

$f' (2) = \frac{5 (16)}{1025}$

ステップ 8.3.2.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.3.2.2.1

$5$ を $1025$ で因数分解します。

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

ステップ 8.3.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

ステップ 8.3.2.3.2.2.3

式を書き換えます。

$f' (2) = \frac{16}{205}$

ステップ 8.3.2.4

最終的な答えは $\frac{16}{205}$ です。

$\frac{16}{205}$

ステップ 8.4

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。

極大値または極小値ではありません

ステップ 8.5

$f (x) = \arctan (x^{5})$ における極大値または極小値は求められません。

極大値または極小値はありません

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例