微分積分例

$f (x) = \ln ({(3 x)}^{2})$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

くくりだして簡約します。

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ステップ 1.1.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\ln ({(3 (x))}^{2})]$

ステップ 1.1.2

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

積の法則を $3 (x)$ に当てはめます。

$\frac{d}{d x} [\ln (3^{2} x^{2})]$

ステップ 1.1.2.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [\ln (9 x^{2})]$

ステップ 1.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 9 x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $9 x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

ステップ 1.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $9 x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{9 x^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{2}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{9 x^{2}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.3.2

項を簡約します。

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ステップ 1.3.2.1

$9$ と $\frac{1}{9 x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{9}{9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3.2.2

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{9}{9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2}} (2 x)$

ステップ 1.3.4

項を簡約します。

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ステップ 1.3.4.1

$2$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2}{x^{2}} x$

ステップ 1.3.4.2

$\frac{2}{x^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{x^{2}}$

ステップ 1.3.4.3

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.4.3.1

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

ステップ 1.3.4.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.4.3.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

ステップ 1.3.4.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

ステップ 1.3.4.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{x}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

ステップ 2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (- x^{- 2})$

ステップ 2.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 x^{- 2}$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 2.5.2

項をまとめます。

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ステップ 2.5.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{- 2}{x^{2}}$

ステップ 2.5.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{2}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{2}{x} = 0$

ステップ 4

一次導関数が $0$ に等しくなる $x$ の値がないので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 5

極値がありません

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例