微分積分例

$f (x) = 8 x^{3} - 66 x^{2} - 72 x + 4$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $8 x^{3} - 66 x^{2} - 72 x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 66 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 66 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{3}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 66 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 66 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.2.3

$3$ に $8$ をかけます。

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 66 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 66 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 66$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 66 x^{2}$ の微分係数は $- 66 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$24 x^{2} - 66 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$24 x^{2} - 66 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.3.3

$2$ に $- 66$ をかけます。

$24 x^{2} - 132 x + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [- 72 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 72$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 72 x$ の微分係数は $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$24 x^{2} - 132 x - 72 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$24 x^{2} - 132 x - 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.4.3

$- 72$ に $1$ をかけます。

$24 x^{2} - 132 x - 72 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$24 x^{2} - 132 x - 72 + 0$

ステップ 1.5.2

$24 x^{2} - 132 x - 72$ と $0$ をたし算します。

$24 x^{2} - 132 x - 72$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $24 x^{2} - 132 x - 72$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 132 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 132 x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $24 x^{2}$ の微分係数は $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 24 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 132 x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 132 x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

ステップ 2.2.3

$2$ に $24$ をかけます。

$f'' (x) = 48 x + \frac{d}{d x} (- 132 x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 132 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 132$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 132 x$ の微分係数は $- 132 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 48 x - 132 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 72)$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 48 x - 132 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 72)$

ステップ 2.3.3

$- 132$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 48 x - 132 + \frac{d}{d x} (- 72)$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 72$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 72$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 48 x - 132 + 0$

ステップ 2.4.2

$48 x - 132$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 48 x - 132$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$24 x^{2} - 132 x - 72 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1.1

総和則では、 $8 x^{3} - 66 x^{2} - 72 x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 66 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 66 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{3}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 66 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 66 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 4.1.2.3

$3$ に $8$ をかけます。

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 66 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 66 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$- 66$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 66 x^{2}$ の微分係数は $- 66 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$24 x^{2} - 66 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$24 x^{2} - 66 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 4.1.3.3

$2$ に $- 66$ をかけます。

$24 x^{2} - 132 x + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 4.1.4

$\frac{d}{d x} [- 72 x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.4.1

$- 72$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 72 x$ の微分係数は $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$24 x^{2} - 132 x - 72 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 4.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$24 x^{2} - 132 x - 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 4.1.4.3

$- 72$ に $1$ をかけます。

$24 x^{2} - 132 x - 72 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 4.1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1.5.1

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$24 x^{2} - 132 x - 72 + 0$

ステップ 4.1.5.2

$24 x^{2} - 132 x - 72$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 24 x^{2} - 132 x - 72$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $24 x^{2} - 132 x - 72$ です。

$24 x^{2} - 132 x - 72$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $24 x^{2} - 132 x - 72 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$24 x^{2} - 132 x - 72 = 0$

ステップ 5.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$12$ を $24 x^{2} - 132 x - 72$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1.1

$12$ を $24 x^{2}$ で因数分解します。

$12 (2 x^{2}) - 132 x - 72 = 0$

ステップ 5.2.1.2

$12$ を $- 132 x$ で因数分解します。

$12 (2 x^{2}) + 12 (- 11 x) - 72 = 0$

ステップ 5.2.1.3

$12$ を $- 72$ で因数分解します。

$12 (2 x^{2}) + 12 (- 11 x) + 12 (- 6) = 0$

ステップ 5.2.1.4

$12$ を $12 (2 x^{2}) + 12 (- 11 x)$ で因数分解します。

$12 (2 x^{2} - 11 x) + 12 (- 6) = 0$

ステップ 5.2.1.5

$12$ を $12 (2 x^{2} - 11 x) + 12 (- 6)$ で因数分解します。

$12 (2 x^{2} - 11 x - 6) = 0$

ステップ 5.2.2

因数分解。

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ステップ 5.2.2.1

群による因数分解。

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ステップ 5.2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 6 = - 12$ で和が $b = - 11$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 5.2.2.1.1.1

$- 11$ を $- 11 x$ で因数分解します。

$12 (2 x^{2} - 11 x - 6) = 0$

ステップ 5.2.2.1.1.2

$- 11$ を $1$ プラス $- 12$ に書き換える

$12 (2 x^{2} + (1 - 12) x - 6) = 0$

ステップ 5.2.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$12 (2 x^{2} + 1 x - 12 x - 6) = 0$

ステップ 5.2.2.1.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$12 (2 x^{2} + x - 12 x - 6) = 0$

ステップ 5.2.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 5.2.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$12 ((2 x^{2} + x) - 12 x - 6) = 0$

ステップ 5.2.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$12 (x (2 x + 1) - 6 (2 x + 1)) = 0$

ステップ 5.2.2.1.3

最大公約数 $2 x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$12 ((2 x + 1) (x - 6)) = 0$

ステップ 5.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$12 (2 x + 1) (x - 6) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x + 1 = 0$

$x - 6 = 0$

ステップ 5.4

$2 x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.4.1

$2 x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x + 1 = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ について $2 x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.4.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 x = - 1$

ステップ 5.4.2.2

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.2.2.1

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 5.4.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 5.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{2}$

ステップ 5.4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{2}$

ステップ 5.5

$x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.5.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 5.5.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 5.6

最終解は $12 (2 x + 1) (x - 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{1}{2}, 6$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = - \frac{1}{2}, 6$

ステップ 8

$x = - \frac{1}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$48 (- \frac{1}{2}) - 132$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$48 (\frac{- 1}{2}) - 132$

ステップ 9.1.1.2

$2$ を $48$ で因数分解します。

$2 (24) \frac{- 1}{2} - 132$

ステップ 9.1.1.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot 24 \frac{- 1}{2} - 132$

ステップ 9.1.1.4

式を書き換えます。

$24 \cdot - 1 - 132$

ステップ 9.1.2

$24$ に $- 1$ をかけます。

$- 24 - 132$

ステップ 9.2

$- 24$ から $132$ を引きます。

$- 156$

ステップ 10

$x = - \frac{1}{2}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \frac{1}{2}$ は極大値です

ステップ 11

$x = - \frac{1}{2}$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $- \frac{1}{2}$ で置換えます。

$f (- \frac{1}{2}) = 8 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 66 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 72 (- \frac{1}{2}) + 4$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 11.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{1}{2}) = 8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 66 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 72 (- \frac{1}{2}) + 4$

ステップ 11.2.1.1.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{1}{2}) = 8 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) - 66 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 72 (- \frac{1}{2}) + 4$

ステップ 11.2.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{1}{2}) = 8 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 66 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 72 (- \frac{1}{2}) + 4$

ステップ 11.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f (- \frac{1}{2}) = 8 (- \frac{1}{2^{3}}) - 66 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 72 (- \frac{1}{2}) + 4$

ステップ 11.2.1.4

$2$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{1}{2}) = 8 (- \frac{1}{8}) - 66 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 72 (- \frac{1}{2}) + 4$

ステップ 11.2.1.5

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.5.1

$- \frac{1}{8}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (- \frac{1}{2}) = 8 (\frac{- 1}{8}) - 66 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 72 (- \frac{1}{2}) + 4$

ステップ 11.2.1.5.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{1}{2}) = 8 (\frac{- 1}{8}) - 66 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 72 (- \frac{1}{2}) + 4$

ステップ 11.2.1.5.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 - 66 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 72 (- \frac{1}{2}) + 4$

ステップ 11.2.1.6

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.6.1

積の法則を $- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 - 66 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 72 (- \frac{1}{2}) + 4$

ステップ 11.2.1.6.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 - 66 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) - 72 (- \frac{1}{2}) + 4$

ステップ 11.2.1.7

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 - 66 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) - 72 (- \frac{1}{2}) + 4$

ステップ 11.2.1.8

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 - 66 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 72 (- \frac{1}{2}) + 4$

ステップ 11.2.1.9

1のすべての数の累乗は1です。

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 - 66 \frac{1}{2^{2}} - 72 (- \frac{1}{2}) + 4$

ステップ 11.2.1.10

$2$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 - 66 (\frac{1}{4}) - 72 (- \frac{1}{2}) + 4$

ステップ 11.2.1.11

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.11.1

$2$ を $- 66$ で因数分解します。

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 + 2 (- 33) (\frac{1}{4}) - 72 (- \frac{1}{2}) + 4$

ステップ 11.2.1.11.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 + 2 \cdot (- 33 \frac{1}{2 \cdot 2}) - 72 (- \frac{1}{2}) + 4$

ステップ 11.2.1.11.3

共通因数を約分します。

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 + 2 \cdot (- 33 \frac{1}{2 \cdot 2}) - 72 (- \frac{1}{2}) + 4$

ステップ 11.2.1.11.4

式を書き換えます。

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 - 33 (\frac{1}{2}) - 72 (- \frac{1}{2}) + 4$

ステップ 11.2.1.12

$- 33$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 + \frac{- 33}{2} - 72 (- \frac{1}{2}) + 4$

ステップ 11.2.1.13

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 - \frac{33}{2} - 72 (- \frac{1}{2}) + 4$

ステップ 11.2.1.14

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.14.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 - \frac{33}{2} - 72 (\frac{- 1}{2}) + 4$

ステップ 11.2.1.14.2

$2$ を $- 72$ で因数分解します。

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 - \frac{33}{2} + 2 (- 36) (\frac{- 1}{2}) + 4$

ステップ 11.2.1.14.3

共通因数を約分します。

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 - \frac{33}{2} + 2 \cdot (- 36 (\frac{- 1}{2})) + 4$

ステップ 11.2.1.14.4

式を書き換えます。

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 - \frac{33}{2} - 36 \cdot - 1 + 4$

ステップ 11.2.1.15

$- 36$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 - \frac{33}{2} + 36 + 4$

ステップ 11.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$- 1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1}{1} - \frac{33}{2} + 36 + 4$

ステップ 11.2.2.2

$\frac{- 1}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{33}{2} + 36 + 4$

ステップ 11.2.2.3

$\frac{- 1}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{33}{2} + 36 + 4$

ステップ 11.2.2.4

$36$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{33}{2} + \frac{36}{1} + 4$

ステップ 11.2.2.5

$\frac{36}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{33}{2} + \frac{36}{1} \cdot \frac{2}{2} + 4$

ステップ 11.2.2.6

$\frac{36}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{33}{2} + \frac{36 \cdot 2}{2} + 4$

ステップ 11.2.2.7

$4$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{33}{2} + \frac{36 \cdot 2}{2} + \frac{4}{1}$

ステップ 11.2.2.8

$\frac{4}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{33}{2} + \frac{36 \cdot 2}{2} + \frac{4}{1} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 11.2.2.9

$\frac{4}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{33}{2} + \frac{36 \cdot 2}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

ステップ 11.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 33 + 36 \cdot 2 + 4 \cdot 2}{2}$

ステップ 11.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.4.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2 - 33 + 36 \cdot 2 + 4 \cdot 2}{2}$

ステップ 11.2.4.2

$36$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2 - 33 + 72 + 4 \cdot 2}{2}$

ステップ 11.2.4.3

$4$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2 - 33 + 72 + 8}{2}$

ステップ 11.2.5

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.5.1

$- 2$ から $33$ を引きます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 35 + 72 + 8}{2}$

ステップ 11.2.5.2

$- 35$ と $72$ をたし算します。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{37 + 8}{2}$

ステップ 11.2.5.3

$37$ と $8$ をたし算します。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{45}{2}$

ステップ 11.2.6

最終的な答えは $\frac{45}{2}$ です。

$y = \frac{45}{2}$

ステップ 12

$x = 6$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$48 (6) - 132$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 13.1

$48$ に $6$ をかけます。

$288 - 132$

ステップ 13.2

$288$ から $132$ を引きます。

$156$

ステップ 14

$x = 6$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 6$ は極小値です

ステップ 15

$x = 6$ のときy値を求めます。

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ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f (6) = 8 {(6)}^{3} - 66 {(6)}^{2} - 72 \cdot 6 + 4$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

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ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 15.2.1.1

$6$ を $3$ 乗します。

$f (6) = 8 \cdot 216 - 66 {(6)}^{2} - 72 \cdot 6 + 4$

ステップ 15.2.1.2

$8$ に $216$ をかけます。

$f (6) = 1728 - 66 {(6)}^{2} - 72 \cdot 6 + 4$

ステップ 15.2.1.3

$6$ を $2$ 乗します。

$f (6) = 1728 - 66 \cdot 36 - 72 \cdot 6 + 4$

ステップ 15.2.1.4

$- 66$ に $36$ をかけます。

$f (6) = 1728 - 2376 - 72 \cdot 6 + 4$

ステップ 15.2.1.5

$- 72$ に $6$ をかけます。

$f (6) = 1728 - 2376 - 432 + 4$

ステップ 15.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 15.2.2.1

$1728$ から $2376$ を引きます。

$f (6) = - 648 - 432 + 4$

ステップ 15.2.2.2

$- 648$ から $432$ を引きます。

$f (6) = - 1080 + 4$

ステップ 15.2.2.3

$- 1080$ と $4$ をたし算します。

$f (6) = - 1076$

ステップ 15.2.3

最終的な答えは $- 1076$ です。

$y = - 1076$

ステップ 16

$f (x) = 8 x^{3} - 66 x^{2} - 72 x + 4$ の極値です。

$(- \frac{1}{2}, \frac{45}{2})$ は極大値です

$(6, - 1076)$ は極小値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例