微分積分例

$f (x) = 8 \sec (x) + 4 \tan (x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $8 \sec (x) + 4 \tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [8 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [8 \sec (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 \sec (x)$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$

ステップ 1.2.2

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$8 \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 \tan (x)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ です。

$8 \sec (x) \tan (x) + 4 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 1.3.2

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$8 \sec (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $8 \sec (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 \sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 \sec (x) \tan (x)$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ です。

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (\sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

ステップ 2.2.2

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 8 (\sec (x) \frac{d}{d x} (\tan (x)) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

ステップ 2.2.3

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$f'' (x) = 8 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

ステップ 2.2.4

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$f'' (x) = 8 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

ステップ 2.2.5

指数を足して $\sec (x)$ に $\sec^{2} (x)$ を掛けます。

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ステップ 2.2.5.1

$\sec (x)$ に $\sec^{2} (x)$ をかけます。

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ステップ 2.2.5.1.1

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 8 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

ステップ 2.2.5.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 8 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

ステップ 2.2.5.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

ステップ 2.2.6

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

ステップ 2.2.7

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

ステップ 2.2.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

ステップ 2.2.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 \sec^{2} (x)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ です。

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x))$

ステップ 2.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sec (x)$ とします。

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

ステップ 2.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 u \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

ステップ 2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

ステップ 2.3.3

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

ステップ 2.3.4

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

ステップ 2.3.5

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

ステップ 2.3.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))$

ステップ 2.3.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 \sec^{2} (x) \tan (x))$

ステップ 2.3.8

$2$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 8 \sec^{2} (x) \tan (x)$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = 8 \sec^{3} (x) + 8 (\tan^{2} (x) \sec (x)) + 8 \sec^{2} (x) \tan (x)$

ステップ 2.4.2

項を並べ替えます。

$f'' (x) = 8 \tan^{2} (x) \sec (x) + 8 \sec^{2} (x) \tan (x) + 8 \sec^{3} (x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$8 \sec (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) = 0$

ステップ 4

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$8 \tan^{2} (\frac{7 π}{6} + 2 π n) \sec (\frac{7 π}{6} + 2 π n) + 8 \sec^{2} (\frac{7 π}{6} + 2 π n) \tan (\frac{7 π}{6} + 2 π n) + 8 \sec^{3} (\frac{7 π}{6} + 2 π n)$

ステップ 6

一次導関数検定ができなかったので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例