微分積分例

$f (x) = 8000 + 70 x - x^{2}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $8000 + 70 x - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8000] + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [8000] + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.1.2

$8000$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8000$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [70 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$70$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $70 x$ の微分係数は $70 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 + 70 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 70 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.3

$70$ に $1$ をかけます。

$0 + 70 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0 + 70 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 70 - (2 x)$

ステップ 1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 70 - 2 x$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$0$ と $70$ をたし算します。

$70 - 2 x$

ステップ 1.4.2

項を並べ替えます。

$- 2 x + 70$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- 2 x + 70$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [70]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (70)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (70)$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (70)$

ステップ 2.2.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (70)$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$70$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $70$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 2 + 0$

ステップ 2.3.2

$- 2$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 2$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 2 x + 70 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $8000 + 70 x - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8000] + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [8000] + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 4.1.1.2

$8000$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8000$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [70 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$70$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $70 x$ の微分係数は $70 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 + 70 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 70 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 4.1.2.3

$70$ に $1$ をかけます。

$0 + 70 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0 + 70 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 70 - (2 x)$

ステップ 4.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 70 - 2 x$

ステップ 4.1.4

簡約します。

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ステップ 4.1.4.1

$0$ と $70$ をたし算します。

$70 - 2 x$

ステップ 4.1.4.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 2 x + 70$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 2 x + 70$ です。

$- 2 x + 70$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 2 x + 70 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 2 x + 70 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $70$ を引きます。

$- 2 x = - 70$

ステップ 5.3

$- 2 x = - 70$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$- 2 x = - 70$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 70}{- 2}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 70}{- 2}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 70}{- 2}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$- 70$ を $- 2$ で割ります。

$x = 35$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 35$

ステップ 8

$x = 35$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 2$

ステップ 9

$x = 35$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 35$ は極大値です

ステップ 10

$x = 35$ のときy値を求めます。

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ステップ 10.1

式の変数 $x$ を $35$ で置換えます。

$f (35) = 8000 + 70 (35) - {(35)}^{2}$

ステップ 10.2

結果を簡約します。

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ステップ 10.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 10.2.1.1

$70$ に $35$ をかけます。

$f (35) = 8000 + 2450 - {(35)}^{2}$

ステップ 10.2.1.2

$35$ を $2$ 乗します。

$f (35) = 8000 + 2450 - 1 \cdot 1225$

ステップ 10.2.1.3

$- 1$ に $1225$ をかけます。

$f (35) = 8000 + 2450 - 1225$

ステップ 10.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 10.2.2.1

$8000$ と $2450$ をたし算します。

$f (35) = 10450 - 1225$

ステップ 10.2.2.2

$10450$ から $1225$ を引きます。

$f (35) = 9225$

ステップ 10.2.3

最終的な答えは $9225$ です。

$y = 9225$

ステップ 11

$f (x) = 8000 + 70 x - x^{2}$ の極値です。

$(35, 9225)$ は極大値です

ステップ 12

微分積分 例

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